Расчет многослойной катушки на прямоугольном каркасе

Столкнувшись с трудностями при расчете многослойной катушки на круглом каркасе, мы отказались от простой эмпирической формулы Вилера и пошли по пути усложнения модели катушки и алгоритма расчета. В случае с многослойной катушкой на прямоугольном каркасе, которая довольно часто используется, совершенно очевидно, что следует пойти аналогичным путем. При этом катушку можно представить как набор соосных прямоугольных рамок и рассчитывать общую индуктивность катушки как сумму их собственных и взаимных индуктивностей.

Но мы можем пойти дальше и представить катушку как набор линейных проводов. Каждый виток представляет из себя набор из четырех таких отрезков. Причем взаимно-перпендикулярные отрезки  не взаимодействуют между собой и их взаимная индуктивность равна нулю. Пользуясь тем, что прямоугольник — симметричная фигура, мы можем провести вычисления только для двух его сторон. Удвоив результат вычислений, мы получим общую индуктивность катушки. На следующем рисунке изображены два параллельных отрезка провода неодинаковой длины для наглядности и понимания формул расчета.

Для таких расчетов нам необходимо знать следующее...

1. 1. Формулу собственной индуктивности отрезка провода:
      

      [1]

      где:
      • L - индуктивность [мкГн]
      • l = l₁ или l = l₂ - длина проводника [мм];
      • r = d/2 - радиус проводника [мм];
   2. Более известна формула, которая является упрощением вышеприведенной, но мы ее не используем, как менее точную:
      

      [2]

   3. Формулу взаимной индуктивности двух отрезков провода неодинаковой длины:
      

      [3]

      где:
      • M - величина взаимоиндукции [мкГн];
      • x₁ = l₁/2 - половина длины первого проводника [мм];
      • x₂ = l₂/2 - половина длины второго проводника [мм];
      • D - расстояние между центрами проводников [мм];

Формула верна для проводников центры которых лежат на одной оси, что у нашей катушки, в принципе, имеет место.

Катушка рассчитывается численным методом «виртуальной намотки». При добавлении нового витка, рассчитывается собственная индуктивность всех его отрезков, а также возможная взаимоиндукция со всеми другими отрезками с учетом взаимного направления тока в них. В общей сумме мы получаем собственную индуктивность многослойной катушки. Попутно рассчитывается длина провода, необходимая для намотки и его сопротивление постоянному току. Вы также можете воспользоваться онлайн калькулятором многослойной катушки на прямоугольном каркасе.

Реальный виток имеет скругленные углы, а не представляет из себя идеальный прямоугольник. Это обстоятельство, а также ограниченная точность исходных формул, не позволяют достичь высокой точности расчетов. Погрешность расчета составляет около ±5% от величины индуктивности. Имеется ввиду, что намотка плотная, без зазоров и междуслойных прокладок. Несмотря на невысокую точность, этот численный алгоритм позволяет рассчитать произвольную многослойную катушку на прямоугольном каркасе не прибегая к поиску сложных эмпирических формул, всегда имеющих ограничения по геометрии намотки. С помощью данного алгоритма, например, мы можем без труда рассчитать индуктивность многовитковой прямоугольной рамки большого диаметра.

Ссылки по теме:

1. The self and mutual inductances of linear conductors. (E. B. Rosa 1908) - formula [1] in article reference to formula 9 on p.305. The self-inductance of a linear conductor.
2. American National Bureau of Standards circular C74 - formula [3] in article reference to formula 182 on p.273 with error correction. Mutual inductance of two symmetrically placed unequal wires.