Расчет индуктивности на ферритовом стержне

В отличии от тороидальной индуктивности на ферритовом кольце, магнитный поток катушки на ферритовом стержне не замкнут целиком внутри феррита и каждая силовая линия проходит и по ферритовому стержню и по воздуху, поэтому расчет такой катушки представляет довольно сложную задачу. Индуктивность зависит от:

• магнитной проницаемости ферритового стержня и его размеров;
• размеров самой катушки;
• взаимного соотношения размеров катушки и стержня;
• положения катушки относительно центра стержня.

Расчет индуктивности катушки на ферритовом стержне основан на определении относительной эффективной проницаемости стержня. Другими словами, нам нужно определить насколько возрастет индуктивность катушки с "воздушным сердечником" если внутрь нее вставить ферритовый стержень. Основная формула выглядит вот так:

,где L_f / L_air - отношение индуктивности катушки с ферритом к индуктивности той же катушки без феррита, а коэффициенты x, k и μ_fe вычисляются по следующему алгоритму:

1. l' = l_c + 0.45 d_c;
2. φ_φmax ≈ 1 / [ 1 + { ( ( l_f - l_c ) / d_f )^1.4 } / ( 5 μ ) ];
3. C_anf = 0.5 π ε₀ ( l_f - l_c ) / [ ln { 2 ( l_f + d_f) / d_f } - 1 ];
4. k = [ (φ_φmax C_anf / ε₀ ) + 2 d_f ] / 2 d_c
5. x = 5.1 [ l' / d_c ] / [1+ 2.8 ( d_c / l' )];
6. μ_fe = ( μ -1) ( d_f /d_c)² +1;

где ε₀ = 8,8542*10^-12 Ф/м - электрическая постоянная, μ - начальная магнитная проницаемость материала стержня. Основные размеры в метрах, обозначения понятны из рисунка:

Немного теории обосновывающей этот алгоритм.

• Можно считать что воздушная катушка имеет магнитную цепь состоящую из двух частей. Снаружи катушки и внутри нее. Они отличаются плотностью силовых линий и магнитным сопротивлением. Если магнитное сопротивление внутренней части магнитной цепи выше, чем наружной части (а это так, поскольку ее площадь поперечного сечения намного меньше), тогда применение феррита уменьшает это сопротивление и имеет эффект увеличения индуктивности. Это отношение двух частей магнитных сопротивлений магнитной цепи воздушной катушки обозначено в основной формуле как x и вычисляется на 5-ом шагу алгоритма.
• Параметр μ_fe учитывает случай, когда обмотка не плотно прилегает к стержню, т.е. между стержнем и обмоткой существует радиальный зазор.
• Параметр C_anf учитывает влияние частей стержня, которые выступают за пределы катушки. Эти части уменьшают магнитное сопротивление внешней части магнитной цепи и также увеличивают индуктивность.
• Параметр φ_φmax учитывает конечное магнитное сопротивление феррита. Этот параметр, наряду с параметром C_anf используется для расчета коэффициента k из основного уравнения [1]

При смещении катушки относительно стержня индуктивность катушки уменьшается, это обстоятельство учитывается с помощью поправочного коэффициента K:

,где

• s_h - относительное смещение = смещение s деленное на половину длины сердечника [s_h = s / ( l_f / 2 )].

Эта формула получена методом регрессионного анализа и справедлива при s = 0,05 - 0,7

В итоге индуктивность катушки на ферритовом стержне определяется по следующей формуле:

Индуктивность катушки  "воздушным" сердечником L_air рассчитывается по алгоритму расчета однослойной катушки с учетом шага намотки с учетом шага намотки. Длину намотки можно определить по следующей формуле:

,где

• N - число витков.
• d_w - диаметр провода.
• p - шаг намотки.

Алгоритм имеет следующие ограничения в расчетах:

• шаг намотки не может превышать удвоенного диаметра провода;
• диаметр катушки не может быть больше удвоенного диаметра стержня;
• длина намотки должна быть меньше 3/4 длины стержня;
• длина стержня должна быть не менее чем в 12 раз больше его диаметра;
• при смещении катушки она не должна доходить до края стержня на 1/8 его длины;
• начальная магнитная проницаемость стержня должна быть больше 100;

Также как и в дросселе на ферритовом кольце с немагнитным зазором, при больших значениях начальной магнитной проницаемости стержня его эффективная магнитная проницаемость слабо зависит от начальной и составляет величину не более нескольких десятков.

Расчет изложенный в этой статье основан на работе Алана Пейна G3RBJ (см ссылку [1]). Расчет идет по формулам [1],[2], [3] и [4] методом итераций.

Кроме того, вы можете воспользоваться онлайн-калькулятором катушки на ферритовом стержне.

Особая благодарность Андрею Васильевичу Каинову за конструктивную помощь и соавторство в разработке методики расчета.

Ссылки по теме:

1. Web The-Inductance-of-Ferrite-Rod-Antennas-issue-3 - G3RBJ.