Расчет многослойной катушки индуктивности

Чаще всего в различных программах многослойная катушка индуктивности рассчитывается по простой эмпирической формуле Вилера (H. A. Wheeler):

• L - индуктивность (мкГн)
• N - число витков катушки
• R - средний радиус намотки (м)
• l - длина намотки (м)
• c - толщина намотки (м)

 В предыдущих версиях Coil32 эта формула также использовалась.

Но... Любая эмпирическая формула, не отображающая реальные физические явления, а просто подобранная в соответствии с какими либо данными измерений или являющаяся упрощением более сложных уравнений, имеет ограничения точности расчетов. Причем в данном случае ограничения довольно серьезные. Дело в том, что формула Вилера с достаточной точностью (±1%), считает только катушки с ограниченной геометрией намотки. Что это значит? Это значит, что поперечный разрез намотки катушки должен иметь по возможности квадратную форму. Другими словами, длина намотки "l" должна быть примерно равна толщине намотки "c". Но если принять во внимание, что формула кроме того не учитывает толщину изоляции провода, то заявленный 1% погрешности расчетов значительно увеличивается даже при "дружелюбной" к формуле геометрии намотки. Введение так называемых "коэффициентов неплотности намотки" не спасает ситуацию. На практике же довольно часто приходится изготавливать "длинные" катушки, у которых длина намотки значительно больше толщины, с небольшим числом слоев. Такие катушки формула считает совершенно неправильно. Предельный случай, когда многослойная катушка превращается в однослойную. Расчет по вышеприведенной формуле дает абсолютно неверный результат!

Зачем же тогда вообще пользуются такой ограниченной формулой? Мы можем разделить многослойные катушки на три больших класса: короткие катушки - когда R намного больше l, длинные катушки - когда R намного меньше l и "средние" катушки  - когда R близко к l. Катушка Вилера это наиболее простой вариант намотки относящийся к "среднему" классу. Конструктора чаще всего интересует следующий вопрос: "При какой геометрии намотки получается максимальная индуктивность при минимальной длине провода?" Как следствие - потери в такой катушке тоже минимальны, что немаловажно, например при конструировании фильтров самодельных акустических систем. В 1931, инженер Брукс опубликовал работу в которой он определил размеры такой оптимальной катушки. Средний радиус намотки R должен быть близок к величине 3c/2, причем сечение обмотки должно быть квадратным, или, иначе говоря, должно соблюдаться условие, при котором c должно быть равно или близко к l. Такие оптимальные многослойные катушки называются катушки Брукса и тоже относятся к "среднему" классу.

Брукс вывел формулу для расчета индуктивности такой оптимальной катушки:Где:

• L - индуктивность (Гн);
• R - средний радиус намотки (м);
• N - число витков;

Однако эта формула верна только для расчета оптимальной катушки Брукса. Она также, как и формула Вилера, имеет ограничения в геометрии намотки. Оптимальные катушки Брукса используются в аудиофильтрах и этому посвящена отдельная статья. Короткие катушки используются в поисковых рамках металлоискателей. Они также рассчитываются по формуле выведенной Бруксом, только формула уже другая, годится только для коротких катушек. Подробнее в статье о расчете катушек металлоискателей. Вывод из вышесказанного в том, что ни одна простая формула расчета не является универсальной и не пригодна для расчета индуктивности катушки с произвольной формой намотки.

Какое же решение проблемы?
Можно воспользоваться более точными эмпирическими формулами, например опубликованными в книге "Radio Engineer's Handbook - 1943 F. M. Terman pp 60..63". Предлагаются формулы для коротких и длинных катушек с расчетными коэффициентами сведенными в таблицу. Можно воспользоваться и другими эмпирическими формулами. Тысячи их!
Но... Во-первых - мы снова имеем дело с эмпирическими формулами, которые в силу своей ограниченности где-то опять будут считать неправильно, во-вторых - такой метод расчета был приемлем в середине XX века, когда надо было пользоваться карандашом, бумагой, табличными данными и считать в столбик. В наш век, когда по закону Мура вычислительная мощность компьютеров удваивается каждые два года, можно воспользоваться более точным алгоритмом.

Что же это за более точный алгоритм? Это численный метод расчета, основанный на формулах, предложенных еще в конце XIX века гениальным физиком Д. К. Максвеллом, создателем теории электромагнитного поля, в его знаменитой работе - «Трактат об электричестве и магнетизме».
(Maxwell, James Clerk; "A Treatise on Electricity and Magnetism", Vol. 2, Third Edition, Dover 1954. Art. 701, "To find M by Elliptic Integrals", pp. 338-340.)
Максвелл дает формулу для расчета взаимной индуктивности двух соосных бесконечно тонких круговых проводников:

• M - взаимоиндукция,
• r1, r2 - радиусы намотки проводников,
• k - коэффициент, зависящий от расстояния между ними.
• K и E - эллиптические интегралы первого и второго рода.

Это, можно сказать, базисная формула, отображающая реальную физику. Попутно отметим, что именно Максвелл вывел размеры оптимальной многослойной катушки в этой же фундаментальной его работе. Основываясь на этой работе, Брукс в дальнейшем уточнил выводы Максвелла.

Многослойную катушку можно представить как большое количество таких соосных, свернутых в круг проводников. Посчитав собственную индуктивность каждого витка, а также взаимоиндукцию каждой возможной пары витков и просуммировав это все, мы получим собственную индуктивность многослойной катушки. Такой алгоритм расчета называется методом суммирования и он под силу современным компьютерам. Необходимо также учесть поправку на то, что реальный провод не бесконечно тонкий. Работа по созданию такого программного алгоритма была проделана канадским радиолюбителем Бобом Вивером (Robert Weaver) в 2012 году, а также бразильским фанатом катушек Тесла Dr. Antônio Carlos M. de Queiroz в 2005 году.

Расчет многослойной катушки в Coil32 (версия не ниже v8.0) и во всех версиях Coil64 основан на этих решениях. Предполагается что намотка витков осуществляется послойно "виток к витку / виток над витком", как показано на следующем изображении.

• d - диаметр провода по меди;
• k - диаметр провода с изоляцией или расстояние между центрами соседних витков;

  ---

В алгоритме расчета витки добавляются последовательно. При добавлении рассчитывается собственная индуктивность добавленного витка и его взаимоиндукция со всеми остальными витками. Сумма всех этих величин для всех витков является величиной индуктивности многослойной катушки. Можно намотать и так, что в последующем слое провод будет попадать в канавки между проводами предыдущего, т.е еще плотнее. Как ни парадоксально, но требуемое число витков при этом даже увеличивается из-за уменьшения среднего радиуса намотки! А можно использовать намотку "универсаль" или вообще в навал - как придется. В таком случае проще измерить, чем рассчитать и расчет по любой программе получается только оценочным.

Витки "программно наматываются" до достижения нужной индуктивности, при этом последний слой может быть неполным. Попутно рассчитывается общая длина провода и его сопротивление постоянному току. Этот же алгоритм расчета реализован в онлайн калькуляторе многослойной катушки. Приложение позволяет рассчитать многослойную катушку с межслойными изолирующими прокладками. На рисунке изображена предполагаемая схема намотки катушки с межслойными прокладками. Вы можете выбрать число слоев провода между прокладками, например два, как на рисунке.

В отличии от однослойной катушки, собственная емкость многослойной катушки во многом определяется межвитковой емкостью между слоями намотки. Для ее уменьшения многослойную катушку разбивают на отдельные секции. Индуктивность такой секционированной многослойной катушки является суммой индуктивностей отдельных секций и взаимных индуктивностей между всеми парами секций. В старых справочниках можно найти формулы расчета взаимной индуктивности между двумя многослойными катушками. Однако они также не универсальны для разной геометрии намотки и имеют малую точность. В программе Coil64 для расчета секционированной многослойной катушки используется описанный выше алгоритм. Сначала определяется сколько витков может поместиться в отдельной секции и при "программной послойной намотке" катушки учитывается промежуток между секциями s. При этом, поскольку общая индуктивность рассчитывается как сумма самоиндукций каждого витка во всех секциях и взаимных индуктивностей между любой парой витков, рассчитывать взаимную индуктивность между секциями нет необходимости.

Многослойная катушка с ортоциклической намоткой отличается от катушки с послойной намоткой тем, что витки следующего слоя попадают в канавки между витками предыдущего. Поперечное сечение катушки в таком случае имеет вид сотовой структуры. Если при послойной намотке расстояние между центрами соседних слоев равно диаметру провода в изоляции, то в случае ортоциклической обмотки это расстояние меньше и вычисляется по свойствам геометрии равностороннего треугольника. При этом намотка получается более плотная с меньшей толщиной. Поскольку средний диаметр витка уменьшается, требуется большее количество витков для достижения того же значения индуктивности как при послойной намотке. Однако по той же причине требуется меньшая длина провода для намотки. Взаимное расположение и число витков в четном и нечетном слое ортоциклической обмотки может быть разным. В приложении Coil64 принят один из вариантов расположения изображенный на рисунке. Поскольку на практике невозможно достичь такой идеальной по плотности и геометрии намотки, следует давать запас по числу витков против расчетного.

Аудиофилам следует не забывать, что в фильтрах Hi-End акустических систем следует использовать оптимальную катушку Брукса, которую приложение Coil64 вычисляет в отдельном модуле..

Ссылки по теме:

1. Numerical Methods for Inductance Calculation - Robert Weaver 2012 (Part 1 –> Elliptic Integrals -> Multi-Layer Coils);
2. Classical Calculation for Mutual Inductance of Two Coaxial Loops in MKS Units - Kurt Nalty 2011;
3. Mutual Inductance and Inductance Calculations by Maxwell’s Method - Dr. Antônio Carlos Moreirão de Queiroz 2005;
4. Coil winding technology - Wikipedia;