Расчет спиральной катушки Тесла и катушки намотанной фольгой методом Максвелла

Большое спасибо Robert Weaver за помощь в составлении этого материала

Как плоская спиральная катушка, так и катушка намотанная тонкой фольгой в программе Coil64 рассчитываются с использованием метода бесконечно тонких круговых нитей Максвелла (далее модель Максвелла). На примере этих двух катушек можно подробнее рассмотреть особенности этого метода. Максвелл знаменит тем, что в своем трактате "Электричество и магнетизм" он теоретически предсказал существование электромагнитных волн и то, что свет тоже является электромагнитной волной. Но в этом же трактате он создал теоретическую базу для расчета индуктивностей, тот самый метод, о котором идет речь. Максвелл вывел формулу взаимоиндукции между двумя бесконечно тонкими замкнутыми соосными круговыми контурами с током:

• M - взаимоиндукция двух замкнутых контуров с одинаковым током;
• r₁, r₂ - радиусы двух бесконечно тонких круговых нитей с током;
• x - расстояние между центрами кругов, ограниченных этими нитями;
• K(k),E(k) - эллиптические интегралы, соответственно первого и второго рода, расчет которых численными методами не требует больших вычислительных ресурсов;

При использовании этого метода любую круглую катушку можно представить как набор подобных нитей. Обе наши катушки при этом моделируются в виде набора концентрических колец из таких нитей (x = 0). Число этих колец равно числу витков катушки. Однако при таком преобразовании реального проводника с определенным поперечным сечением в бесконечно тонкую нить нам необходимо определить чему равно расстояние между этими виртуальными нитями. Какое расстояние брать если фигура поперечного сечения провода занимает определенную площадь? Максвелл показал, что это расстояние равно среднему геометрическому расстоянию (GMD - geometric mean distance) между всеми точками поперечного сечения двух проводников [3] и что в случае круглого провода, это расстояние просто равно расстоянию между центрами (осями) провода. Радиус этой нити также считается от оси намотки до оси реального провода. Таким образом преобразование реальной катушки в модель Максвелла в случае провода круглого поперечного сечения получается достаточно простым

А как же рассчитать собственную индуктивность отдельного одиночного витка? Максвелл показал, что эта индуктивность равна взаимоиндукции двух виртуальных нитей с одинаковым диаметром окружности, расположенных на определенном расстоянии. Это расстояние также зависит от формы фигуры поперечного сечения провода и было названо средним геометрическим расстоянием этой фигуры "самой от себя". Для круглого провода это расстояние равно: Где r_w - радиус поперечного сечения провода.Таким образом для расчета индуктивности плоской спиральной катушки Тесла методом Максвелла нам известны все аргументы формулы и их связь с реальными размерами катушки. Нам необходимо будет рассчитать собственную индуктивность каждого витка и взаимоиндукцию между каждой парой витков, а затем, поскольку все магнитные потоки суммируются, нам надо просуммировать все эти результаты. Попутно заметим, что так можно рассчитать индуктивность любой круглой катушки, например многослойной.

Если же поперечное сечение провода не круглое, то GMD уже не равно расстоянию "от центра до центра" провода. Причем оно зависит не только о формы сечения, но и от взаимного расположения таких проводников. Поэтому расчет индуктивности катушки, намотанной фольгой намного сложнее. Добавим еще одно упрощение и представим поперечное сечение фольги в виде бесконечно тонкой линии. В работе [2] было показано, что GMD между двумя такими параллельными линиями определяется следующим выражением:

Таким образом расстояние между двумя виртуальными нитями (GMD) не равно расстоянию между центрами реальных витков фольги (g), а имеет сложную зависимость от этого расстояния и от ширины фольги. Более того, учитывая это обстоятельство нам необходимо скорректировать радиусы этих нитей. Они также не равны расстоянию от оси катушки до центра фольги. Для двух разных пар витков фольги преобразования в модель Максвелла не подобны друг другу, поэтому в алгоритме расчета мы вынуждены рассчитывать GMD и радиусы нитей отдельно для каждой такой пары.При расчете собственной индуктивности отдельного витка в качестве радиусов виртуальных нитей мы берем расстояние от оси катушки до центра фольги и GMD бесконечно тонкой линии "самой от себя", которое вычисляется по следующей формуле:

В дальнейшем алгоритм расчета суммарной собственной индуктивности катушки намотанной фольгой не отличается от такового для спиральной катушки намотанной круглым проводом.

 Особо следует отметить ограничения в расчетах. их несколько:

1. Во первых само упрощение реальной геометрии до бесконечно тонких фигур уже вносит некую погрешность. Но она достаточно мала, иначе такое упрощение не имело бы смысла. Есть только два существенных ограничения по геометрии намотки. Во первых, диаметр намотки должен быть больше поперечных размеров провода. Для проволочных катушек это условие чаще всего соблюдается на практике. Трудно представить себе катушку с диаметром намотки сравнимым с диаметром провода. Что касается катушки намотанной фольгой, то ширина фольги может быть и больше диаметра намотки. Если диаметр намотки больше ширины фольги, ошибка расчета не превышает 10%. При более широкой фольге ошибка становится недопустимой. Поэтому данный метод пригоден только для предварительного расчета относительно"узких" катушек. Индуктивность рулона кухонной фольги этим методом рассчитать, к сожалению, не удастся и для расчета подобной катушки придется воспользоваться электромагнитными симуляторами. Например ANSYS MAXWELL 3D с решателем Magnitostatic. Второе ограничение - отношение ширины фольги к ее толщине должно быть не менее 100. В этом случае мы можем считать ее достаточно близкой к бесконечно тонкой линии, как в модели описанной выше.
2. Второе ограничение состоит в том, что плотность тока в каждой точке поперечного сечения проводника считается одинаковой. Это справедливо только на постоянном токе. При переменном токе имеет место скин-эффект. Однако на относительно низких частотах погрешность вносимая этим эффектом достаточно мала.
3. Третье ограничение состоит в том, что плотность тока по длине проводника также считается одинаковой. Другими словами в каждой замкнутой нити нашей модели течет одинаковый ток. Это также справедливо только на постоянном токе, а на относительно низких частотах отличия от постоянного тока несущественны и не принимаются во внимание.

 В заключении обратим ваше внимание на то, что GMD между двумя проводами круглого сечения всегда будет равно расстоянию между их осями, независимо от их взаимного расположения. В случае фольги - это не так. Если два плоских проводника располагаются не друг над другом, а на одной линии, то GMD между ними будет определяться уже по другой формуле и алгоритм расчета снова меняется [1]. Для проводов с другим профилем поперечного сечения нам также заново придется рассчитывать аргументы для формулы Максвелла с учетом формы этого профиля и взаимного расположения проводов

Ссылки по теме:

1. Geometric Mean Distance — Its Derivation and Application in Inductance Calculations - Robert Weaver, Saskatoon, Canada (PDF);
2. Formulas and Tables for the Calculation of Mutual and Self Induction. E B Rosa & F W Grover, revised 1916 3rd edition, 1948 (PDF);