Параллельный колебательный контур, формулы расчета

Параллельный колебательный контур в радиотехнике используется как основа частотно-избирательных цепей и встречается намного чаще последовательного. Реальные элементы контура обладают потерями и при анализе цепи используется реалистичная модель из идеальных сосредоточенных элементов в которой потери учитываются с помощью «виртуальных» последовательных активных сопротивлений R_L и R_C.

Собственная паразитная емкость катушки обычно не учитывается, т. к. она просто суммируется с контурной. Программа Coil64 рассчитывает потери в проводе катушке R_L без учета потерь в каркасе, экране, сердечнике и во всех предметах, с которыми взаимодействует окружающая катушку электромагнитная волна. Однако, учитывается скин-эффект и эффект близости. Эти же потери учитывает параметр «конструктивная добротность катушки» - Q_L. Это не добротность всего контура, а добротность катушки, которая связана с ее сопротивлением потерь следующим соотношением:

[1]

Потери в контурном конденсаторе на порядок меньше и характеризуются добротностью конденсатора. Поскольку потери конденсатора сосредоточены в основном в диэлектрике, можно считать, что его добротность Q_C и сопротивление потерь R_C связаны с параметром, учитывающем потери в диэлектрике tgδ, следующим образом:

[2]

При анализе цепи часто ее преобразуют в эквивалентную параллельную RLC-цепь. В этом случае, заменяя сопротивления проводимостями, мы упрощаем анализ и получаем формулы идентичные формулам последовательного контура. Многие радиолюбители полагают, что последовательные R_L и R_C просто преобразуются в параллельное R. Это не так:

Как видим активные сопротивления и реактивности при таком преобразовании «перепутались», поэтому для наглядности проведем анализ без использования проводимостей, прямо по исходной схеме. Входное сопротивление двухполюсника получается следующим:

Активная и реактивная (мнимая) составляющие:

При резонансе токи в реактивных элементах (I_L, I_C) в Q раз больше общего тока цепи (I), поэтому для параллельного контура явление носит название резонанса токов.

Резонансная частота параллельного колебательного контура — это частота, при которой реактивная составляющая входного сопротивления равна нулю, входное сопротивление чисто активно, и, соответственно, фазовый сдвиг между током и напряжением на входных зажимах цепи тоже равен нулю. Приравняв X_вх к нулю и проведя соответствующие преобразования получим следующую формулу для резонансной частоты параллельного колебательного контура:

[3]

Один из важнейших параметров контура - его характеристическое сопротивление:

Формулу резонансной частоты можно представить иначе:

[5]

ω₀ - резонансная частота последовательного колебательного контура.

Как видим резонансная частота параллельного колебательного контура равна резонансной частоте последовательного колебательного контура, составленного из тех же элементов, с добавкой поправочного коэффициента √[(L/C - RL^2)/(L/C - RC^2)]. На практике этот коэффициент всегда близок к единице и равен единице если R_L=R_C или R_L=R_C=0.

Пример:

Имеем контур с индуктивностью 3μГн и емкостью 42пФ, сопротивление потерь катушки — R_L=2 Ом, конденсатора — R_C=0.1 Ом. По формуле Томпсона резонансная частота контура равна 14.178649 МГц, точно вычисляем по формуле [1] — 14.178253 МГц. Как видим, активные сопротивления потерь вносят в идеальный контур дополнительную реактивность и уводят его частоту вниз, в данном случае почти на 400 Гц.

Это совсем небольшое отклонение нужно иметь ввиду, но оно намного меньше отклонений, вносимых неучтенными паразитными емкостями. Поэтому при выполнении условий: R_L<< ρ, R_C<< ρ, что обычно бывает на практике, можно считать, что условия резонанса токов совпадают с условиями резонанса напряжений в последовательном контуре, составленном из тех же элементов L и C,

ω₀ = 1/√LC или ƒ₀ = 1/(2π√LC)

На этом "родственная схожесть" последовательного и параллельного контуров не заканчивается.
При выполнении тех же условий: R_L<< ρ, R_C<< ρ где Z_{вх.посл} = (R_L + R_C) + j(ωL - 1 ⁄ ωC) – входное сопротивление последовательного контура, составленного из тех же элементов.

• R_Σ = R_L + R_C;

Как видим, можно считать, что сопротивления потерь катушки и конденсатора суммируются, поэтому общую добротность контура Q можно определить следующим выражением:

[6]

На резонансной частоте ω₀:

[7]

Поскольку реактивные сопротивления взаимно компенсируются, контур на резонансной частоте имеет чисто активное сопротивление равное Rэ (эквивалентное или эффективное сопротивление контура).

Из последней формулы следует, что:

[8]

Т.е. добротность контура равна отношению его характеристического сопротивления к сопротивлению потерь. Иначе говоря, на данной частоте более добротным будет контур с меньшей емкостью и большей индуктивностью. Как же тогда соотносится добротность контура с конструктивной добротностью катушки? Чтобы понять это, следует иметь ввиду, что характеристическое сопротивление контура численно равно модулю реактивного сопротивления индуктивности или емкости на резонансной частоте. Последние, как известно, в этом случае равны и отличаются лишь знаком. Если мы пренебрежем потерями в конденсаторе, тогда формула [8] сводится к формуле [1]. Ведь на резонансной частоте ρ = |X_L|, а в сумме R_Σ = R_L + R_C, последнее слагаемое мы не учитываем. Другими словами, если пренебречь потерями в конденсаторе, то добротность контура равна конструктивной добротности катушки. В итоге мы приходим к выводу, что формулы [1] и [8] в этом случае эквивалентны. Если же нам необходимо учесть потери в конденсаторе, то следует использовать формулу [6].

Необходимо отметить два важных момента:

1. Coil64 рассчитывает конструктивную добротность для "голой катушки в вакууме". Наличие экрана увеличивает распределенную емкость и уменьшает индуктивность. Характеристическое сопротивление контура падает, добротность уменьшается. Кроме этого добавляются потери на вихревые токи в экране. Каркас катушки также снижает ее добротность и добротность контура соответственно.
2. Добротность катушки растет с ростом частоты только на "низких" частотах, далеких от частоты собственного резонанса катушки. При приближении к собственному резонансу добротность достигает максимума на частотах 60-85% от F_srf и затем плавно снижается. Это происходит от того, что на этих частотах начинает проявляться зависимость индуктивности и собственной емкости катушки от частоты.

Амплитудно-частотная характеристика имеет такой же вид, как и резонансная кривая последовательного контура; ФЧХ представляет собой зеркальное отображение ФЧХ последовательного контура.

Важно понятие полоса пропускания контура Это частотный интервал в пределах которого импеданс Zвх не ниже
1 ⁄ √2 (или 0,707) от максимального на резонансной частоте. Справедлива следующая формула, которую можно использовать для измерения добротности:

В практике представляет интерес величина ослабления контуром нежелательных частот:

[10]

Для расстроек более трех полос пропускания формула упрощается:

где знак не учитывается.

В реальной схеме контур связан с источником колебаний и нагрузкой, которые вносят в него дополнительные потери, снижающие добротность. Эквивалентная добротность Q параллельного колебательного контура:

Q = Q₀·R_i ⁄ (R_э + R_i)

• Q₀ - добротность не нагруженного контура;
• Ri - входное сопротивление источника;
• Rэ - эквивалентное сопротивление не нагруженного контура;

Эту формулу можно использовать для учета влияния любых подключенных к контуру сопротивлений (например, нагрузки) на его добротность.

Для уменьшения влияния внешних цепей, а также для трансформации и согласования импедансов применяют частичное включение нагрузки в контур.

Как видно из рисунка, это можно сделать различными способами: емкостным делителем, отводом от контурной катушки, с помощью отдельной катушки связи. Тогда выходное сопротивление контура:
R_вых = T²R_э
где T – коэффициент включения или эффективный коэффициент трансформации (не путать к коэффициентом магнитной связи). Его можно рассчитать как отношение сопротивлений, по аналогии с резистивным делителем. Только вместо активных сопротивлений используются реактивные.

• a) Для емкостного делителя, после преобразований соотношения реактивных сопротивлений конденсаторов, получим:
  T = C1 ⁄ (C1 + C2)
• b) На первый взгляд для делителя с отводом катушки формула должна быть аналогичной: T = Lc ⁄ (Lc + Lo). Это было бы справедливо, если бы обе части катушки Lc и Lo были независимы с коэффициентом магнитной связи равным нулю. Иначе можно было бы определить T как отношение числа витков до отвода к полному числу витков катушки, как в автотрансформаторе, в котором, как известно, магнитная связь близка к единице. Однако в случае «воздушной» катушки коэффициент магнитной связи меньше единицы. В этом случае полная индуктивность рассчитывается как L = (Lc + M) + (Lo + M), где Lc и Lo - собственная индуктивность частей катушки до и после отвода, а M - их взаимная индуктивность. Тогда эффективный коэффициент трансформации (коэффициент включения/деления):
  T = (Lc + M) / L
  где L — собственная индуктивность контурной катушки, Lс — собственная индуктивность части катушки до отвода, а M - взаимная индуктивность между частями катушки до и после отвода.
• c) Для индуктивной связи коэффициент трансформации в случае «воздушных» катушек тоже не равен отношению числа витков и определяется следующим образом:
  T = M ⁄ L
  где L — собственная индуктивность контурной катушки, а M — взаимная индуктивность контурной катушки и катушки связи.

Обратим ваше внимание, что при моделировании контура с катушкой с отводом в программе LTSpice, последнюю представляют как две связанные катушки. При этом в программу нужно подставить реальный коэффициент магнитной связи, с расчетом которого вам поможет Coil64. Строго говоря, коэффициент включения зависит также от потерь в катушке R_L. Однако при добротности более 50 этой зависимостью можно пренебречь. Тем не менее, подставляя в программу LTSpice параметры однослойной катушки, которые дает Coil64, включая сопротивление потерь, мы учитываем и эту зависимость. Кроме того, программа позволяет рассчитать коэффициент связи как двух «воздушных» катушек, так и двух частей катушки с отводом.

При подключении внешней нагрузки к контуру с помощью частичного включения, результирующая добротность определяется:
Q = Q_0·R_u ⁄ (R_э + R_u)

R_u = T²R_i (R_i – внешняя нагрузка)

Следует отметить, что для максимального коэффициента передачи электромагнитной энергии, выходное сопротивление контура должно быть равно сопротивлению нагрузки. Все вышесказанное справедливо и в случае согласования контура с источником сигнала.