Расчет катушек с ферромагнитными сердечниками

При использовании замкнутых ферромагнитных сердечников практически весь магнитный поток сосредоточен внутри такого сердечника. В этом случае, для упрощения расчетов вводится понятие магнитной цепи. Законы и понятия для магнитной цепи, такие как магнитодвижущая сила, магнитное сопротивление и др. очень похожи на соответствующие законы и понятия для электрической цепи. Такое соответствие проистекает из того очевидного факта, что как магнитное, так и электрическое поле являются двумя гранями единой и неделимой сущности — электромагнитного поля.

Магнитные сердечники могут иметь самую разнообразную форму. Для упрощения расчетов любой такой сердечник заменяется на идеальный тороидальный сердечник. На такой, который имеет такие же электрические параметры и содержит столько же витков, как и оригинальный. При этом предполагается, что выполнены следующие условия:

1. Весь магнитный поток сосредоточен внутри такого сердечника;
2. Магнитное поле за пределами сердечника и зазора отсутствует;
3. В немагнитном зазоре (если он есть), магнитный поток точно такой же как и внутри сердечника;
4. Магнитный поток в поперечном сечении такого сердечника распределен равномерно;
5. Вектор магнитной индукции всегда перпендикулярен поперечному сечению магнитной цепи, тогда мы можем перейти от векторных к скалярным величинам;
6. Поперечное сечение магнитной цепи постоянно по всей ее длине;

Нужно понимать, что таких сердечников в реальности не существует, это абстрактный объект. Параметры магнитной цепи такого замещающего абстрактного сердечника называются эффективными:

• Эффективная длина магнитной цепи l_e;
• Эффективное поперечное сечение магнитной цепи A_e;
• Эффективный объем сердечника V_e = l_e * A_e;

Чтобы учесть влияние зазора в магнитной цепи, сердечник с зазором заменяется совсем уж идеальным виртуальным сердечником без зазора с таким же числом витков, но с меньшей проницаемостью. Магнитная проницаемость такого сердечника называется эффективной магнитной проницаемостью µ_e:

[1]

где µ_r - относительная магнитная проницаемость сердечника. Когда катушка работает на начальном участке кривой намагничивания, эту величину можно принять равной начальной магнитной проницаемости материала сердечника µ_i.

Для такого идеального сердечника справедливы следующие соотношения:

[2]

где:

• Φ - магнитный поток [Вб];
• B - магнитная индукция [Тл];
• H - напряженность магнитного поля [А/м];
• A_e - эффективная площадь поперечного сечения магнитной цепи [м²];
• l_e - эффективная длина магнитной цепи [м];
• N - число витков;
• I - сила тока [А]

Основываясь на этих соотношениях и на основных формулах теории магнетизма мы можем найти индуктивность катушки с таким сердечником:

[3]

где:

• L - индуктивность [Гн];
• µ₀ = 4 π · 10^-7 - магнитная константа [Гн/м];
• µ_e - эффективная магнитная проницаемость сердечника;
• N - число витков;
• A_e - эффективная площадь поперечного сечения магнитной цепи [м²];
• l_e - эффективная длина магнитной цепи [м];

Если из даташитов известна величина индукции насыщения материала сердечника B_s (или B_max), то можно определить ток насыщения:

[4]

где:

• I_s - ток насыщения [А];
• B_s - магнитная индукция насыщения [Тл];
• l_e - эффективная длина магнитной цепи [м];
• µ₀ = 4 π · 10^-7 - магнитная константа [Гн/м];
• µ_e - эффективная магнитная проницаемость сердечника;
• N - число витков;

Для никель-цинковых ферритов B_s = 0,2...0,3 [Тл], для марганец-цинковых B_s = 0,3...0,5 [Тл], для стали и железа B_s = 1...2 [Тл]. Нередко в даташитах на ферритовые сердечники величина магнитной индукции измеряется в единицах [Гаусс]. Справедливо соотношение [Tл] = [Гс] * 10^-4.

Часто в даташитах ферритовых сердечников можно найти параметр — коэффициент индуктивности сердечника A_L. Он предназначен для упрощения расчета индуктивности, при этом она рассчитывается по короткой формуле:

[5]

где:

• L - индуктивность [нГн];
• A_L - коэффициент индуктивности [нГн/(виток)²];
• N - число витков;

Единого соглашения по единицам измерения коэффициента индуктивности нет, каждый производитель устанавливает свои нормы, но чаще всего встречающиеся единицы совпадают по значению:
[нГн/(виток)²] = [мГн/(1000 витков)²].

Если из даташитов известны эффективные параметры сердечника и его коэффициент (фактор) индуктивности, то можно вычислить его эффективную магнитную проницаемость (например для расчета тока насыщения):

[6]

где:

• µ_e - эффективная магнитная проницаемость сердечника;
• A_L - коэффициент индуктивности [нГн/(виток)²] или [мГн/(1000 витков)²];
• l_e - эффективная длина магнитной цепи [мм];
• A_e - эффективная площадь поперечного сечения магнитной цепи [мм²];

Также, если нам известна относительная (начальная) магнитная проницаемость материала сердечника, взяв за основу формулу [1] мы можем определить величину немагнитного зазора сердечника

[7]

где:

• g - величина немагнитного зазора [мм];
• l_e - эффективная длина магнитной цепи [мм];
• µ_e - эффективная магнитная проницаемость сердечника;
• µ_r - относительная магнитная проницаемость сердечника

Обычно в учебных материалах, посвященных расчету магнитных цепей, в качестве наглядного примера представлен чертеж П-образного сердечника. При этом может возникнуть иллюзия, что достаточно  взять в руки линейку и прямо на реальном сердечнике измерить длину и площадь поперечного сечения магнитной цепи. Это, скажем так, не всегда верно, поскольку в реальном сердечнике может не соблюдаться условие 6). Даже реальный тороидальный сердечник приходится заменять идеальным, поскольку в реальном не соблюдается условие 4). На основании физических размеров реального сердечника для него рассчитываются специальные константы C1 и C2, через которые вычисляются эффективные параметры для такого сердечника. Подробный разбор таких расчетов изложен в справочном разделе сайта:

• Расчет катушки на тороидальном сердечнике (реальном, а не идеальном);
• Расчет катушки в броневом сердечнике;
• Расчет катушки на П-образном сердечнике;
• Расчет катушки на Ш-образном сердечнике;
• Расчет катушки на сердечнике RM;