Методы расчета индуктивностей

Наиболее полно теоретические основы методов расчета индуктивностей изложены в справочной книге: "Расчет индуктивностей. П.Л.Калантаров Л.А.Цейтлин". Здесь же хотелось бы немного систематизировать подходы к расчету индуктивностей.

Прежде всего отметим, что расчет индуктивности можно вести тремя способами:

• Расчет по упрощенным эмпирическим формулам (Начальный уровень)
• Численный метод основанный на упрощенной модели катушки (Средний уровень)
• Численный метод основанный на фундаментальных законах электродинамики (Высокий уровень)

Начальный уровень представляет из себя эмпирический подход, который предполагает подбор (подгонку) относительно несложных аппроксимирующих формул по результатам измерений индуктивности реальных катушек либо путем упрощений уравнений более высокого уровня. Расчет по упрощенным эмпирическим формулам имеет ограничения в точности и применим только к катушкам с определенной геометрией намотки. Большинство таких формул можно найти здесь. Несмотря на невысокую точность, такой расчет чаще всего вполне достаточен в радиолюбительской практике. 

Средний уровень основан на фундаментальных формулах физики, применимых к круговым проводникам, выведенных в XIX веке Д.К.Максвелломи Лоренцом. Позволяет провести расчет более точно, чем по эмпирическим формулам, но не требует запредельных аппаратных ресурсов компьютера. Недостатки: Более низкая точность расчета в сравнении в высоким уровнем. Невозможность рассчитать катушку с произвольной геометрией намотки. Катушка должна работать на частотах намного ниже частоты собственного резонанса.

Высокий уровень - это расчет в программах основанных на фундаментальных законах классической электродинамики, так называемых электромагнитных симуляторах. К ним можно отнести COMSOL Multiphysics, FEMM, ANSYS, GAL-ANA и т.п. Эти программы используют специальные численные методы, такие как метод моментов и метод конечных элементов. Расчет в таких программах довольно точен, позволяет учесть множество нюансов, рассчитать катушку произвольной формы, однако требует огромных ресурсов компьютера. Применяется при научном анализе или если катушка работает в режиме, когда ее нельзя представлять как сосредоточенный элемент [пример]

Более подробно рассмотрим пример среднего уровня расчета, который использует Coil64...  Расчет индуктивности в программе Coil64 основан на модели Максвелла, в которой катушка представляется как множество соосных бесконечно тонких круговых проводников. Из Теоремы Гаусса следует, что силовые линии магнитного поля всегда замкнуты. Из этого следует, что магнитный поток порожденный круговым контуром с током весь проходит через поверхность, ограниченную этим контуром. Это обстоятельство отражено в следующей формуле:

 Из этой формулы можно вывести определение для собственной индуктивности кругового проводника через двойной контурный интеграл Ф.Е.Неймана для взаимоиндукции [вывод здесь]:

Как показал Д.К.Максвелл, для двух бесконечно тонких круговых соосных проводников этот интеграл имеет однозначное решение, которое выглядит следующим образом:

[1]

•     M - взаимоиндукция;
•     r1, r2 - радиусы двух бесконечно тонких круговых проводников;
•     x - расстояние между центрами кругов, ограниченных этими проводниками;
•     K(k), E(k) - полные эллиптические интегралы, первого и второго рода соответственно;

Численный метод расчета по формуле Максвелла сводится к численным методам решения эллиптических интегралов.

По формуле Максвелла можно рассчитывать как индуктивность многослойных и однослойных катушек, так и взаимную индуктивность двух отдельных катушек. Погрешности модели, связанные с допущением, что провод бесконечно тонкий и представляет собой набор круговых проводников (хотя на самом деле - это спираль), можно уменьшить с помощью соответствующих поправок.

Рассчитывая взаимоиндукцию проводника "самого на себя", т.е. его самоиндукцию (собственную индуктивность), Максвелл использует понятие - "среднее геометрическое расстояние" - GDM (g), для круглого провода:

g = e^0.25*r_w, где r_w - радиус провода.

 Очень важен следующий момент. Вся вышеприведенная логика рассуждений и вывода формул, начиная от формулы Неймана, справедлива в случае равномерного распределения плотности тока вдоль катушки. В подавляющем большинстве практических случаев так и есть. Однако если катушка работает вблизи частот собственного резонанса, начинает проявляться неравномерность распределения плотности тока по проводнику! Другими словами, начинает проявляться зависимость индуктивности от частоты, которая в наших расчетах не учитывается. Поэтому индуктивность катушки можно рассчитать корректно только на частотах не превышающих 60-70% от частоты ее собственного резонанса. Таким образом Coil64 не годится для точных расчетов, например, катушек Тесла или спиральных резонаторов. В этом случае и в случае если катушка работает в режиме выше частоты собственного резонанса - ее нужно представлять только в виде модели длинной линии и рассчитывать в программах-электромагнитных симуляторах, либо пользоваться специальными эмпирическими формулами.

Ссылки по теме:

1. An introduction to the art of Solenoid Inductance Calculation D W Knight 2013
2. Numerical Methods for Inductance Calculation Robert Weaver 2012
3. Inductance Calculation Techniques --- Part II: Approximations and Handbook Methods Marc T. Thompson 1999
4. A new method for inductance calculation M.A.Bueno A K T Assis 1995