Расчет взаимной индуктивности двух однослойных катушек

При расчете колебательных контуров с магнитной связью возникает необходимость рассчитать взаимную индуктивность и коэффициент связи между двумя катушками. В программе Coil64 взаимная индуктивность рассчитывается с помощью модели Максвелла, в которой спиральные витки катушки упрощенно представлены как множество соосных бесконечно тонких круговых проводников. Катушки считаются бескаркасными, поэтому в качестве входных данных имеются ввиду диаметры намотки D1, D2 и длины намотки l1, l2, которые измеряются по осям проводов. Подробнее об этом здесь. Обе катушки должны быть соосны. Началом отсчета 0 в этой воображаемой общей оси X считается начало первого витка первой катушки. Для вычисления положения каждого кругового проводника в расчетной модели нам необходимо знать шаг намотки. Шаг намотки в каждой катушке p1, p2 вычисляется как длина катушки l1 или l2 деленная на соответствующее число витков N1 или N2. Поскольку чаще используются катушки с намоткой виток к витку, измерение общей длины катушки более удобно. Смещение катушек x измеряется от начала первой катушки до начала второй. При этом x может быть меньше чем l1. В этом случае при разных диаметрах катушек, они могут входить одна в другую. Программа делает проверку, чтобы витки разных катушек не перекрывали друг друга. В случае ошибки программа выдает сообщение «Расчет не удался».

Взаимная индуктивность между катушками вычисляется методом суммирования. По формуле Максвелла вычисляется взаимоиндукция каждого витка первой катушки с каждым витком второй катушки. Полученные значения суммируются. Программа вычисляет индуктивность каждой катушки и взаимную индуктивность. Коэффициент связи k вычисляется по формуле:

[1]

где M - взаимная индуктивность, L₁, L₂ - индуктивности каждой из двух катушек.

Катушка с отводом часто используется в составе параллельного колебательного контура для согласования импедансов со входом/выходом транзистора. Такую «воздушную» катушку, с числом витков N, можно представить как две последовательно включенные катушки с магнитной связью: катушка с числом витков nt до отвода, и катушка с числом витков (N - nt) после отвода. Ее нельзя рассматривать как идеальный автотрансформатор и рассчитывать коэффициент трансформации через соотношение числа витков по причине того, что коэффициент магнитной связи между частями катушки меньше единицы и больше нуля. Поэтому нам необходимо знать величину этой магнитной связи. В случае катушки с отводом нет необходимости рассчитывать взаимную индуктивность каждой пары витков и расчет можно упростить.

[2]

где:

• L - собственная индуктивность всей катушки с числом витков N;
• Lc - собственная индуктивность части катушки до отвода с числом витков nt;
• Lo - собственная индуктивность части катушки после отвода с числом витков (N - nt);
• M - взаимная индуктивность между частями катушки;
• k - коэффициент магнитной связи между частями катушки;

 Как видно из формул, нам достаточно вычислить собственную индуктивность всей катушки и ее частей.

Поскольку коэффициент трансформации нельзя вычислить через соотношение витков, введем понятие эффективный коэффициент трансформации T. Это безразмерный параметр, определяющий отношение напряжений и токов автотрансформаторной модели катушки с отводом. Квадрат T задает коэффициент трансформации импедансов.

[3]

В старых радиолюбительских справочниках эффективный коэффициент трансформации называют коэффициентом включения в контур. Он определяет как выходное сопротивление контура на резонансной частоте, которое «видит» транзистор, так и дополнительные потери, внесенные в контур нагрузкой, подключенной к отводу. Эти потери уменьшают добротность и расширяют полосу пропускания контура. Программа Coil64 вычисляет эти параметры для параллельного колебательного контура. Следует иметь ввиду, что как и в предыдущем случае, D - это диаметр намотки, а не диаметр каркаса.

Для моделирования двух связанных катушек в программе LTSpice необходимо знать параметры каждой катушки и коэффициент магнитной связи межу ними, который задается с помощью SPICE Directive. Программа Coil64 позволяет получить все эти параметры. Катушку с отводом в LTSpice моделируют как две отдельные, включенные последовательно, катушки с магнитной связью. Все нужные параметры для такой модели также можно получить из поля вывода результатов Coil64.

Ссылки по теме:

• Numerical Methods for Inductance Calculation, Maxwell and Coaxial Circular Conductors - Copyright 2010, 2022, Robert Weaver;