Расчет катушек на печатной плате

Плоские печатные катушки чаще всего применяют в диапазонах метровых и дециметровых волн для уменьшения габаритов устройства. Обычно их выполняют с круглой, квадратной формой витков или в форме меандра, хотя можно и в виде многоугольника. В последнее время с появлением технологии многослойных печатных плат, появились и многослойные катушки на печатной плате. Применение сердечника из магнитного материала малоэффективно, так как такой сердечник удален от витков катушки и может менять ее индуктивность на 3 - 5 %, что в большинстве случаев недостаточно. Поэтому печатные катушки индуктивности применяются в большинстве случаев тогда, когда не требуется подстройка и величина индуктивности не превышает единиц микрогенри.

Добротность плоских печатных катушек обычно ниже добротности катушек, имеющих обмотку из провода и меньше, чем у цилиндрических катушек с металлизированными дорожками. У катушек на фольгированном стеклотекстолите добротность начинает заметно снижаться уже с частоты 100 Мгц. Собственная емкость печатных катушек индуктивности зависит от ширины спиральных витков, расстояния между ними и материала платы и может достигать 3 - 5 пФ, что довольно значительно на таких частотах. Все вышесказанное говорит не в пользу плоских катушек, однако компактность конструкции наряду с применением SMD-компонентов часто играет решающую роль. В тоже время печатные катушки имеют лучшие показатели добротности и меньшую паразитную емкость по сравнению с SMD-катушками

На нашем сайте можно воспользоваться онлайн калькулятором для расчета катушек на печатной плате

Для расчета индуктивности печатных катушек мы можем использовать три достаточно точных метода.

1.Первый метод основан на адаптированной под PCB формуле Вилера для плоских спиральных проволочных катушек:

[1]

• L- индуктивность (микрогенри);
• µ₀ = 4π*10^-7 - магнитная постоянная;
• N - число витков катушки;
• D_avg - средний диаметр катушки (микрометр) (см. выражение [4]);
• φ - коэффициент заполнения (см. выражение [4]);
• Коэффициенты K₁ и K₂ завися от формы витков катушки и показаны в следующей таблице:

2.Второй метод основан на уравнении, которое получено путем аппроксимации большого объема данных измерений реальных катушек (при точных значениях индуктивности):

[2]

где:

• L- индуктивность (наногенри);
• D - внешний диаметр катушки (микрометр);
• W - ширина печатного проводника (микрометр);
• D_avg - средний диаметр катушки (микрометр) (см. выражение [4]); 
• N - число витков катушки;
• g = s - W  промежуток между витками (микрометр);
• Коэффициенты β и α_i завися от формы витков катушки и показаны в следующей таблице:

3.Третий метод основан на фундаментальных законах электромагнетизма и на модели сторон спирали как бесконечно тонких плоскостей с током:

[3]

где:

• L- индуктивность (микрогенри);
• µ₀ = 4π*10^-7 - магнитная постоянная;
• N - число витков катушки;
• D_avg - средний диаметр катушки (микрометр) (см. выражение [4]);
• φ - коэффициент заполнения (см. выражение [4]);
• ci - коэффициент из таблицы III (зависит от формы витков):

Для расчета индуктивности печатных катушек Coil64 использует третий метод. Точность расчетов по формуле [3] ухудшается при росте соотношения s/W. Отклонения от точного значения достигают максимума в 8% при s /W ≈ 3. Очевидно Что должно соблюдаться условие w ≤ s. Для максимальной добротности оптимальное соотношение d/D = 0.4 для круглых катушек и оптимум d/D = 0.362 для квадратных катушек. Программа автоматически подставляет значение внутреннего диаметра из этих соотношений. При расчете индуктивности мы в качестве исходных данных принимаем внешний диаметр катушки и форму витков. Если в результате расчета получаются недопустимые значения размеров печатного проводника, мы можем изменить ее внешний диаметр и пересчитать заново.

Следует отметить, что хотя для приложения Coil64 выбран третий метод, все три метода расчета достаточно точны, имеют среднее отклонение от точного результата в 2–3%, и следовательно все три в равной степени пригодны для расчета индуктивности печатных катушек. Во всех выражениях коэффициент D_avg - средний диаметр катушки, а φ - коэффициент заполнения. Эти коэффициенты рассчитываются по следующим формулам:

[4]

• D_avg - средний диаметр катушки;
• φ - коэффициент заполнения;

• D - внешний диаметр катушки;
• d - внутренний диаметр катушки;

Расчет печатной катушки с прямоугольной формой витков основан на работе Hubert Anthony Aebischer, с которой можно ознакомиться по ссылке [3] в конце этой статьи. Авторский алгоритм расчета для MATLAB в Appendix 4 был портирован в C++ для программы Coil64. Обозначения размеров изменены в соответствии с принятыми в Coil64.

• W - ширина печатного проводника (width);
• s - шаг намотки (spacing);

Допускается только целое число витков не менее двух. При расчете числа витков во вкладке «Катушка» предполагается что величина числа витков находится в диапазоне 2…10000. В противном случае или при невозможности корректно провести расчет выводится сообщение «Недопустимая комбинация входных параметров». Рассчитывается только один внутренний размер a. При расчете во вкладке «Индуктивность» недопустимая комбинация входных параметров обычно появляется при невозможности разместить заданное число витков в заданном прямоугольнике. Необходимо уменьшить шаг намотки и соответственно ширину печатного проводника.

Добротность катушки на печатной плате зависит от потерь в проводнике и потерь в диэлектрике. Применение специализированных подложек с нормированными малыми потерями для большинства радиолюбителей малодоступно. Более доступен обычный фольгированный стеклотекстолит. Он имеет довольно высокое значение tanδ и потери в подложке оказывают решающее влияние на добротность катушки. При этом, в отличии от микрополосковой линии, в которой присутствует квази-ТЕМ волна, сосредоточенная в основном внутри диэлектрика подложки, электромагнитное поле печатной катушки расположено как в диэлектрике, так и в воздухе. По этой причине в программе Coil64 следует вводить приблизительное эффективное значение tanδ_eff, которое меньше справочных значений параметра потерь стеклотекстолита: tanδ ≈ 0,02. Очевидно, что такой расчет позволяет получить лишь довольно оценочное значение добротности и для более точных расчетов добротности катушки на печатной плате следует использовать электромагнитные симуляторы. Тем не менее он позволяет учесть существенное влияние потерь в подложке на величину добротности. Кроме того, потери в стеклотекстолите увеличиваются с ростом частоты и на частотах более 150-200 МГц могут снижать добротность печатной катушки до недопустимо низких значений.

Индуктивность в виде прямого печатного проводника (может использоваться в ДМВ диапазоне) вычисляется по следующей формуле:

• L - индуктивность (микрогенри)
• l - длина проводника (мм)
• b - ширина проводника (мм)

Такие индуктивные элементы часто применяют в фильтрах ДМВ диапазона. Поскольку собственная емкость такого индуктивного элемента довольно велика, необходимо иметь в виду, что более корректно представлять его в виде отрезка длинной линии с распределенными параметрами. Однако для приблизительных расчетов, при использовании такого элемента в качестве индуктивности колебательного контура, рабочая частота которого намного ниже частоты собственного резонанса этой длинной линии, принятое здесь упрощение модели вполне приемлемо.

Кроме того, в приложении Coil64 доступен модуль расчета индуктивности печатной катушки в форме меандра.

Ссылки по теме:

1. Simple Accurate Expressions for Planar Spiral Inductances - Mohan, S.S. ; Dept. of Electr. Eng., Stanford Univ., CA, USA ; del Mar Hershenson, M. ; Boyd, S.P. ; Lee, T.H. 1999;
2. Lumped Elements for RF and Microwave Circuits - Inder Bahl 2003;
3. Inductance Formula for Rectangular Planar Spiral Inductors with Rectangular Conductor Cross Section - Hubert Anthony Aebischer 2020;