Is there, I ask, can there be, a more interesting study than that of alternating currents

Никола Тесла

О собственной емкости однослойной катушки индуктивности

На высоких частотах катушку индуктивности корректнее представлять в виде длинной однопроводной линии передачи, свернутой в спираль. Как известно, такая линия представляет собой структуру с распределенными по ее длине индуктивностью и емкостью. Когда длина такой линии равна λ/4 (λ - длина электромагнитной волны в катушке), она находится в резонансном режиме и частота, соответствующая этой длине волны называется частотой собственного резонанса катушки. Катушки очень редко работают на частотах близких к собственному резонансу или выше его. Однако если это происходит, например в ВЧ дросселях, расчет такой катушки желательно вести в ВЧ электромагнитных симуляторах.

Обычно конструкция катушки выбирается такой, чтобы она работала на частотах намного ниже частоты собственного резонанса. Тогда ее с достаточной степенью точности можно представить в виде эквивалентной схемы из идеальных сосредоточенных элементов. В таком представлении параллельно катушке подключена ее паразитная собственная емкость. Эта емкость зависит от материала и формы каркаса, формы намотки, наличия экрана. Для упрощения задачи определим в первом приближении как форма намотки катушки влияет на ее паразитную емкость

В процессе развития радиотехники неоднократно были предприняты попытки подобрать эмпирическую формулу для расчета собственной емкости. В разных справочниках можно найти разные формулы, от разных авторов, но чаще даже без указания источника. Какая же из этих формул более точная и правильная? Попробуем разобраться...

1. Начнем с того, что впервые проблему собственной емкости катушки поднял J. C. Hubbard в 1917 году. S.Butterworth, известный всем новатор и дизайнер схем частотной фильтрации (вспомните фильтры Баттерворта) в 1926 году предложил свою формулу расчета, но она имела серьезные ограничения и не могла рассчитывать короткие катушки.(Что имеется ввиду под термином "короткие", читайте в статье, посвященной добротности)
2. Примерно в тоже время был предложен способ определения собственной емкости катушки с помощью косвенного измерения. Измеряются как минимум две или несколько резонансных частот контура с разными внешними конденсаторами и затем по результатам измерений вычисляется как собственная емкость катушки, так и ее индуктивность. Вот онлайн калькулятор реализующий этот метод. Способ точный (но не абсолютно, далее станет понятно почему...). Однако он требует наличия измерительных приборов. Кроме того, так можно определить собственную емкость уже готовой катушки, а нам желательно оценить этот параметр еще на стадии разработки конструкции.

3. Формула, предложенная инженером A. J. Palermo в 1934 году в работе "Distributed Capacity of Single-Layer Coils":

   Cs = f * D f = 2 π / arccosh (p / d)

   [1]

   • С_s - собственная емкость (пФ);
   • D - диаметр катушки (см);
   • p - шаг намотки (см);
   • d - диаметр провода (см);

   Довольно часто встречается в различных справочниках (например "Колебательный контур Скрипников 1970"), однако как показал дальнейший опыт формула не верна! Палермо представлял катушку в виде электростатической структуры, в которой собственная емкость получалась как последовательная сумма ​​емкостей между соседними витками. Логичный вывод - раздвигая витки мы уменьшаем эту суммарную емкость.

   Несмотря на кажущуюся очевидность и наглядность, эта модель катушки неверна. Основное заблуждение заключается в том, что катушка представляется как структура связанная с магнитным полем. Такой подход ведет свою историю еще с изучения соленоидов с постоянным током. Помните пресловутые опилки, показывающие силовые линии? Распределение электрического поля вдоль провода катушки в этом случае пытаются рассматривать с таким же подходом — как электростатическое поле, независимое от магнитного. При этом забывается, что на высоких частотах вокруг катушки существует электромагнитное поле — единая сущность, в которой векторы электрического и магнитного полей всегда перпендикулярны, электрическая и магнитная компоненты этого поля не могут существовать независимо друг от друга.

   Поскольку магнитные силовые линии идут в основном вдоль оси катушки, электрический вектор волны расположен почти перпендикулярно к оси, а компонента электрической составляющей поля, параллельная оси (между витками) практически не заметна, а как раз именно она соответствует межвитковой емкости, ведь как мы знаем - емкость характеризуется электрическим полем. 
   Да и почему катушка разбивается в этой модели на элементарные витки? Почему не на меньшие или большие части? Зачем городить огород, когда есть готовая теория цепей с распределенными параметрами.

4. Формула G.Grandi, опубликована в работе "Stray Capacitances of Single-Layer Solenoid Air-Core Inductors - Grandi, Kazimierczuk, Massarini and Reggiani 1999":

   Cs = ε0 π2 D / ((N-1) ln{ ( p/d ) + √[ ( p/d )2 - 1 ] })

   [2]

   • N - число витков катушки;
   • ε₀ - диэлектрическая постоянная;
   • D - диаметр катушки (см);
   • p - шаг намотки (см);
   • d - диаметр провода (см).

   Это была попытка современной реанимации электростатической модели катушки, которая, как показано в случае с формулой Палермо, далека от действительной картины. Это - яркий пример, когда "бумажная" теория не проверяется экспериментом и тем не менее выдается за истину. Из формулы следует вывод: чем больше витков имеет катушка, т.е чем длиннее она - тем меньше паразитная емкость, что абсолютно противоречит практике. Также можно найти в справочниках, например "Радиодетали, радиокомпоненты и их расчет Коваль 1977".

В 1947 году радиоинженер R.G.Medhurst - сотрудник исследовательской лаборатории компании "General Electric Co.Ltd." опубликовал ряд работ, связанных с экспериментальными исследованиями катушек индуктивности. В результате тщательных измерений паразитной емкости большого количества катушек, Medhurst пришел к выводу, что собственная емкость катушки слабо зависит от шага намотки и модель Палермо не работает. В свою очередь Medhurst обнаружил зависимость емкости от форм-фактора катушки (отношения длины намотки к ее диаметру l/D). На основании своих измерений Medhurst предложил свою полу-эмпирическую формулу:

• D- диаметр катушки (см);
• H - коэффициент, характеризующий форм-фактор катушки, был представлен в виде таблицы:

Это просто данные реальных измерений. В последующем и самим Медхерстом и после него предлагались разные формулы, аппроксимирующие эти данные.Однако более известна самая простая формула для оценки собственной емкости катушек, которую предложил сам Медхерст:

• C_s - собственная емкость [пФ];
• D - диаметр катушки [см];

Формулу [4] вполне можно применять на практике для оценки собственной емкости большинства практических конструкций катушек на гладких полистироловых каркасах.

Или еще проще - собственная емкость однослойной катушки в пФ численно приблизительно равна радиусу намотки в см.

Только надо помнить, что это справедливо при 0.5 < l/D < 2, в противном случае надо брать коэффициент из таблицы. Как видим в формуле нет упоминаний о шаге намотки.

Измерения Медхерста неоднократно подтверждались в последующем, при этом использовались разные измерительные стенды и разные методы. К слову сказать Медхерст проводил измерения паразитной емкости катушки методом двух частот, о котором я упомянул выше. Однако он был в плену модели катушки, основанной на теории сосредоточенных элементов и не смог объяснить результаты своих лабораторных измерений.

В настоящее время сформировалось три подхода в понимании природы собственной емкости катушки:

1. Теоретическая школа основанная на концепции электростатической межвитковой емкости. Для расчетов этой емкости используются формулы Палермо и Гранди. Как показано выше, эта школа ошибочна.
2. Существует как бы компромиссный подход, в котором принимаются во внимание данные из таблицы Медхерста, однако наличие емкости между соседними витками не отрицается. Этот подход можно встретить в книге - "Детали контуров радиоаппаратуры, расчет и конструкция. В.А.Волгов 1954г.". Там используется такая формула:

   Cs = k * k1 * D

   [5]

   Коэффициенты k и k₁ приводятся в виде графиков. Анализ этих графиков показывает, что коэффициент k формулы Волгова соответствует коэффициенту f в формуле [1] Палермо, а коэффициент k₁ пропорционален 2*H в формуле [3] Медхерста. Этот "симбиоз" призван подтвердить наличие емкости между витками. Но как показали эксперименты Медхерста, коэффициент k - ложный. Ниже приведен график из работы Медхерста. Кривая Палермо соответствует коэффициенту f в формуле [1] или k в формуле [5], а данные Медхерста - данные экспериментальных измерений.

   

   Волгов делает отступление, говоря что упрощенно можно считать по формуле C_s≈0,5*D. Но какое может быть упрощение, если коэффициент k меняется в его формуле [5] в десятки раз при раздвигании витков! Это просто неявный отказ от коэффициента k и статической межвитковой емкости с ним связанной.

3. Наиболее полной современной работой, посвященной паразитной собственной емкости катушки, является статья "The self-resonance and self-capacitance of solenoid coils Dr. David W Knight 2013" (G3YNH)
   Приведу несколько цитат из этой работы:
   

   Существует даже школа мысли, которая говорит, что собственная емкость катушки обусловлена ​​емкостью между соседними витками, и, хотя это отчасти верно для многослойных катушек, гипотеза оказывается безнадежно неверной моделью реактивного сопротивления однослойных катушек...
   
   Решение, конечно, заключается в признании, что катушка - это линия передачи, с той лишь разницей, что решение вопроса в случае свернутой линии оказывается довольно сложным...
   
   Тривиальные измерения подтверждают, что собственный резонанс катушки связан с общей длиной проводника. Поэтому странно, что собственная емкость однослойных катушек до сих пор обычно соотносится со статической емкостью которая предположительно существуют между соседними витками...

   Дэвид Найт в своей работе усовершенствует довольно упрощенную эмпирическую формулу Медхерста. Ведь по сути, нам необходимо найти электрическую длину длинной линии, а она зависит от длины проводника, которым намотана катушка. А длина проводника, в свою очередь, зависит не только от диаметра и длины намотки, но также от шага намотки и числа витков. В программе Coil64 реализован расчет собственной емкости однослойной катушки, основанный на работе Девида Найта без учета влияния каркаса. Подразумевается, что катушка работает на частоте много ниже частоты собственного резонанса и является бескаркасной. Приближенно можно считать, что наличие каркаса увеличивает емкость по сравнению с расчетной на 15..30%, каркас с канавками под провод увеличивает емкость до 40%, пропитка и обволакивание катушки лаком или клеем увеличивает емкость до 50% и выше.

Подводя итоги можно прийти к следующим выводам:
Понятие собственной емкости напрямую соотносится с частотой собственного резонанса катушки. Однако при рассмотрении физических процессов в однослойной катушке на частотах близких к частоте ее собственного резонанса необходимо отказаться от модели сосредоточенных элементов как несостоятельной и рассматривать катушку как линию передачи.
У обычной, "прямолинейной" линии передачи с малыми потерями, такие ее параметры, как погонная емкость и погонная индуктивность зависят исключительно от ее геометрии. В спиральной же линии, из-за влияния витков друг на друга, эти параметры являются кроме того еще и функцией частоты. Это обстоятельство приводит к таким важным последствиям:

• Резонансные частоты такой линии хотя и жестко связаны с общей длиной проводника, которым намотана катушка, однако не кратны друг другу.
• Собственная емкость катушки зависит от частоты на которой ее определяют. На низких частотах это одна величина, на частотах близких к собственному резонансу катушки - другая. Пренебречь влиянием частоты и вести речь о расчете собственной емкости катушки имеет смысл только тогда, когда катушка работает на частотах не превышающих 60-70% от частоты ее собственного резонанса. Справедливости ради надо отметить, что это относится и к расчету индуктивности! Ведь формулы расчета и того и другого основаны на предположении, что плотность тока во всех витках одинакова, что не имеет место при резонансе.
• На частотах много ниже частоты первого резонанса можно для упрощения пользоваться моделью катушки из сосредоточенных элементов. Однако стоит не забывать, что собственная емкость в таком случае - это не статическая межвитковая емкость, а интегральная погонная емкость длинной линии и зависит от длины и формы намотки проводника. Именно эту «низкочастотную» величину собственной емкости вы можете видеть в результатах расчета Coil64. Использовать ее для расчета собственного резонанса катушки нельзя по причине, о которой говорилось выше.

Каким же образом геометрия катушки влияет на ее собственную емкость? («низкочастотную»)

• Собственная емкость однослойной катушки при условии l/D ≈ 0,5...2 прямо пропорциональна ее диаметру.
• Оптимальной катушкой в плане паразитной емкости (емкость - минимальна), является катушка с l/D ≈ 1 при шаге намотки близком к удвоенному диаметру провода. При намотке виток к витку оптимальный форм-фактор катушки l/D ≈ 0,5.
• Как показано выше, увеличение шага между витками практически не оказывает влияния на величину собственной емкости. Изменяя шаг намотки, мы прежде всего меняем индуктивность катушки, а не ее собственную емкость. Это происходит от того, что соседние витки взаимодействуют друг с другом преимущественно через магнитное поле, а не через электрическое. Общая длина провода, которая определяет величину собственной емкости, при простом раздвигании витков не меняется.

Можно также отметить следующие моменты:

1. Наличие диэлектрика рядом с проводом катушки, будь то изоляция провода, каркас, клей, компаунд, меняет параметры длинной линии (погонная емкость, волновое сопротивление, коэффициент укорочения), что эквивалентно изменению собственной емкости катушки. Наличие близлежащих деталей конструкции или экрана оказывает подобный эффект.
2. Широко применявшийся ранее метод намотки дросселя с прогрессивным шагом, основанный на электростатической модели катушки, абсолютно бесполезен в плане уменьшения его собственной емкости. Об этой, не имеющей смысла технологии намотки ВЧ дросселей упоминается даже в Википедии в разделе "Конструкция", что говорит о преобладании электростатической модели катушки в массовом сознании радиолюбителей и специалистов в области радиотехники. Справедливости ради стоит отметить, что "прогрессивная" намотка имеет смысл только для уменьшения вероятности межвиткового пробоя дросселя, работающего в режиме с большим градиентом напряжения вдоль его длины.
3. Шаг намотки слабо влияет на паразитную емкость катушки, но за счет эффекта близости является существенным фактором, влияющим на добротность, поэтому, например в случае контурных катушек, им пренебрегать нельзя. Часто встречается утверждение, что пресловутая межвитковая емкость обуславливает уменьшение добротности. Хочу акцентировать внимание, что эффект близости, уменьшающий добротность катушки, обусловлен взаимодействием ВЧ тока с магнитным полем от соседних витков и никак не связан с «межвитковой емкостью», которая характеризуется электрическим полем. Конечно же добротность катушки взаимосвязана с ее собственной емкостью, но никак не со статической емкостью между соседними витками.
4. Все вышесказанное относится прежде всего к однослойным катушкам. У многослойных катушек статическая компонента собственной емкости (между слоями намотки) становится уже заметной.

У прочитавшего эту статью анонима возникает резонный вопрос. Если собственная емкость однослойной катушки - это не емкость между соседними витками, то тогда между чем и чем? В классической теории длинных линий, для линии из двух проводов мы можем ответить на подобный вопрос, потому что конфигурация электрических силовых линий переменного поля TEM-волны и электростатического поля в такой линии совпадают. В спиральной однослойной катушке распространяются поверхностные TE  и TM волны, для которых такого совпадения не существует и поэтому сама постановка вопроса «где конденсатор?» бессмысленна. Никто ведь не ищет никаких виртуальных конденсаторов, например, в круглом волноводе или линии Зоммерфельда. Строго говоря, мы можем вести речь только о входном импедансе спиральной линии, который на низкой частоте (до первого резонанса) имеет только две составляющие — активную и индуктивную. Понятие о собственной емкости катушки появляется тогда, когда из этого импеданса мы вычтем индуктивное сопротивление, рассчитанное для идеальной катушки, у которой конфигурация магнитного поля совпадает с полем соленоида на нулевой частоте без учета волновых эффектов. Другими словами, отрицательную реактивность, возникающую при такой разности, можно считать ассоциированной не с физической емкостью, а просто математической коррекцией на волновые эффекты при расчете идеальной сосредоточенной индуктивности. Подробнее об этом по ссылке [3]. Мы называем эту отрицательную реактивность собственной емкостью в силу исторических причин, о которых шла речь выше, а также для удобства расчетов, но нужно понимать, что ей не соответствует никакая статическая емкость. Можно конечно поискать виртуальные "плавающие" конденсаторы в спиральном волноводе с помощью понятия поверхностного импеданса или привлекая к делу таких "сферических коней в вакууме", как емкость на бесконечно удаленную землю, но этот подход никак не приведет нас к пресловутой электростатической «межвитковой емкости». Ну это уже ахинея какая то! Если емкость - это не емкость, а математическая коррекция, то как же без нее происходит собственный резонанс в катушке? Скажет удивленный читатель. Да не нужна она для объяснения собственного резонанса однослойной катушки. Точно также, как не нужно искать никакую сосредоточенную емкость, чтобы объяснить объемный резонанс в полом волноводе. Более того, как мы уже отметили, если мы будем рассчитывать собственную резонансную частоту катушки по формуле Томсона, взяв за основу индуктивность и «собственную емкость» соленоида на рабочей частоте, мы получим неверный результат. Подробнее см. ссылку [4].

Литература по теме:

1. Filters and an Oscillator Using a New Solenoid Model, Randy Rhea, Applied Microwave & Wireless, Nov 2000,p30-42.
2. EM Wave Propagation on Helical Conductors, S Sensiper, Tech. Report No. 194, May 1951, MIT Research Lab. of Electronics.

Ссылки:

1. О собственной емкости и резонансе катушек – краткая история вопроса - © И.Мамонтов, 2020, 2021;
2. Моделирование анодного дросселя как распределенной структуры - И.Гончаренко 2007-2012
3. Паразитные резонансы в катушке П-контура - И.Гончаренко
4. Высокочастотные катушки, винтовые резонаторы и увеличение напряжения из-за когерентных пространственных мод 2001г.
5. Собственный резонанс однослойной катушки индуктивности.
6. Расчет параметров однослойной катушки индуктивности в электромагнитном симуляторе ANSYS HFSS;