О расчете собственного резонанса однослойной катушки индуктивности
Прежде всего следует обратить ваше внимание на существенное различие понятий "сосредоточенная индуктивность" и "индуктивный элемент конструкции". Сосредоточенная индуктивность — это абстрактная идеальная индуктивность L в теории линейных электрических цепей. Она имеет только индуктивное сопротивление, которое линейно зависит от частоты. Индуктивный элемент конструкции — это реальная катушка, которая намотана проводом с конечным сопротивлением. Отсюда следует вывод, что реальная катушка кроме реактивного сопротивления имеет еще и некое активное R и ее можно представлять в виде идеального L только если R настолько мало, что им можно пренебречь. В противном случае реальная катушка может быть представлена как минимум в виде RL - цепи (модели) из сосредоточенных элементов. Однако на самом деле ситуация с реальной катушкой еще сложнее.
Уже на заре развития радиотехники было обнаружено, что реальная катушка не является идеальной индуктивностью не только по причине наличия активного сопротивления. На определенной частоте она входит в режим резонанса даже при отсутствии внешней емкости, а выше этой частоты импеданс катушки носит уже емкостный характер. Для объяснения этого явления предположили, что кроме индуктивности реальная катушка обладает еще собственной емкостью (предположительно между соседними витками) и реальную катушку стали представлять в виде модели из сосредоточенных RLC элементов, в которой L — индуктивность, C — собственная емкость, названная паразитной, а с помощью активного R учитываются различные потери в катушке. Такая модель катушки имеет одну резонансную частоту, которую назвали частотой собственного резонанса. Долгое время эта модель всех устраивала и стала классической моделью реальной катушки во всех учебниках.
Ведь катушки в подавляющем большинстве практических применений работают на частотах намного ниже частоты собственного резонанса и задачей конструктора является, по сути, обеспечение этого условия. При этом большинство инженеров с этой целью пытались уменьшить эту самую "межвитковую" паразитную емкость. В случае же, если катушка работает на частотах близких к собственному резонансу, как например в спиральных резонаторах или катушках Теслы, RLC-модель дает неверные результаты, но для таких случаев были разработаны альтернативные алгоритмы расчета и все остались довольны не особо задумываясь о причинах таких не стыковок.
В нашу цифровую эпоху появились программы, которые дали возможность моделировать поведение любых высокочастотных устройств с высокой степени точности — так называемые электромагнитные симуляторы. Это мощные пакеты типа CST Studio, ANSYS HFSS и многие другие. Давайте проведем исследование однослойной спиральной катушки в программе HFSS. В первой модели мы поместим катушку над идеальной проводящей поверхностью и запитаем от точечного источника с внутренним сопротивлением 50 МОм. Второй конец катушки заземлен. Расчет будем вести в режиме HFSS Design, использующий метод конечных элементов. Отметим, что популярный ANSYS Maxwell 3D для подобного расчета непригоден.
Вторую катушку рассчитаем методом HFSS Design-IE, использующий метод моментов. В отличии от популярных у радиолюбителей симуляторов на основе ядра NEC, например MMANA, здесь сегментация идет не на отрезки провода, а по его поверхности на элементарные треугольные площадки. При такой сегментации для успешного расчета требуется не менее 8-16 Гб оперативной памяти компьютера. Запитаем катушку через короткие выводы от такого же источника. Поскольку катушка не заземлена, в этой модели первый резонанс - полуволновой.
В результате исследования мы получили графики импеданса на зажимах источника относительно частоты. Из графиков видно, что у катушки не один, а множество резонансов. Из этого следует вывод, что наша катушка — это совсем не одиночный LC-контур с собственной индуктивностью и паразитной емкостью в виде сосредоточенных элементов, как принято считать, а длинная линия с распределенными параметрами. Такая линия состоит из одного провода, но это не должно никого смущать. То, что в даже одиночном проводе наблюдаются волновые резонансные явления, хорошо иллюстрирует пример полуволнового вибратора Герца. Ведь волновые явления как в длинных линиях, так и в вибраторе отображают тот факт, что электромагнитное взаимодействие распространяется с конечной скоростью. На то чтобы электромагнитное взаимодействие «добралось» от одного конца провода до другого затрачивается определенное время, и когда это время сравнимо с периодом колебаний рабочей частоты возникают явления резонанса. И катушка в этом плане недалеко ушла от вибратора, поскольку несмотря на малые ее габариты, длина провода, которым она намотана, может иметь величину сравнимую с длиной волны. Частоту собственного резонанса вибратора мы можем довольно легко определить зная его длину, учтя коэффициент укорочения. В катушке, кроме того, необходимо учесть связь между витками.
В учебниках по электродинамике [1] можно найти описание работы спиральных волноводов с поверхностными электромагнитными (ЭМ) волнами, распространяющимися вдоль провода спирали. Такие волноводы применяются как замедляющие структуры в спиральных антеннах и лампах бегущей волны. Длина одного витка и шаг намотки у них сравним с длиной волны. В частности, у спиральной антенны длина витка L равна длине волны, а шаг намотки p равен четверти длины волны.
Фазовая скорость волны вдоль оси спирального волновода значительно ниже скорости света, на чем и основано его применение как замедляющей структуры.
 |
[1] |
где:
- vax - скорость волны вдоль оси спирали;
- с - скорость света;
Относительная фазовая скорость волны вдоль оси такого волновода зависит только от геометрии спирали и не зависит от частоты, поскольку влияние витков друг на друга минимально и ЭМ-волна распространяется вдоль провода такой спирали, так же как и у вибратора. Отметим, что фазовая скорость ЭМ волны относительно провода спирали в таком волноводе близка к скорости света.
В нашей же катушке, и длина отдельного витка, и даже длина всей намотки, и тем более шаг намотки намного меньше длины волны. В этом случае, кроме основной моды в таком спиральном волноводе существуют высшие моды колебаний, распространяющиеся непосредственно вдоль ее оси. Другими словами, ЭМ волна распространяется не только вдоль длины провода, но часть ее «перепрыгивает от витка к витку». Относительная фазовая скорость вдоль оси катушки определяется следующим приближенным выражением:
 |
[2] |
где:
- λ0 - длина волны рабочей частоты в свободном пространстве;
- D, p - диаметр и шаг намотки;
- c - скорость света;
Как видно из формулы, скорость зависит от диаметра катушки, шага намотки и длины волны. По сути, катушка — тот же спиральный волновод с медленными волнами, но работающий в другом режиме колебаний. Во избежании различных спекуляций отметим то обстоятельство, что благодаря наличию высших мод, волна "добирается" до другого конца катушки быстрее чем непосредственно вдоль провода. Поэтому фазовая скорость волны относительно провода выше скорости света, причем в разы. Это не противоречит теории относительности. Достаточно упомянуть, что в полых волноводах фазовая скорость волны тоже выше скорости света. Для понимания этого кажущегося парадокса следует различать фазовую и групповую скорости электромагнитной волны. Для чего отсылаю к учебникам...
Катушка с одним заземленным концом резонирует на частотах nλ0/4, где n – целое число, λ0 - длина волны рабочей частоты и fsrf = vax/λ0. Поэтому увеличение частоты собственного резонанса сводится к увеличению значения vax. Из-за наличия высших мод ЭМ-волны, частота первого резонанса катушки всегда выше частоты, рассчитанной исходя из длины провода. По этой же причине высшие по частоте резонансы не кратны первому и друг другу. При изменении шага намотки vax имеет максимум при шаге спирали примерно равном радиусу намотки (радиус a = D / 2). Однако катушки с большим шагом намотки (p ≈ a) не представляют практического интереса, поскольку имеют малую индуктивность. При увеличении шага намотки частота собственного резонанса катушки растет (при p < a), но рост этот идет за счет снижения величины индуктивности. При фиксированной индуктивности, если увеличивать шаг намотки, нам приходится добавлять витки и выигрыша мы практически не получаем.
У коротких катушек на каркасах большого диаметра последующие резонансы отстоят от первого далеко выше по частоте, что можно видеть по результатам HFSS моделирования:
На частотах много ниже частоты первого резонанса пространственные задержки намного меньше периода колебаний, ЭМ-поле вокруг катушки представляет собой поле соленоида и скорость распространения волны вдоль ее оси можно не учитывать. В таком случае RLC-модель из сосредоточенных элементов будет вполне рабочей и достаточно точно отображает поведение катушки. Стоит только помнить, что паразитная собственная емкость — это вовсе не статическая емкость между витками. В таком режиме работают катушки из всех наших трех моделей в КВ диапазоне и ниже. Однако уже на частоте первого резонанса начинают проявляться волновые эффекты, связанные с ограниченной скоростью передачи электромагнитных взаимодействий и катушку следует рассматривать только как спиральный волновод. В этом случае RLC модель не только не годится для расчетов, но и приводит к неверному пониманию самого механизма возникновения резонансных явлений в катушке. В этой связи хочется отметить наличие в Сети ложной идеи о том, что в катушке одновременно происходят как волновой резонанс, так и LC-резонанс на сосредоточенных индуктивности и пресловутой «межвитковой емкости». Такое утверждение равносильно тому, что в катушке имеются два механизма распространения электромагнитных взаимодействий. Один происходит, как обычно, со скоростью света и определяет волновой резонанс. Второй осуществляется мгновенно с бесконечной скоростью в виртуальных сосредоточенных элементах катушки. Ведь фазовый сдвиг между током и напряжением в реактивных элементах — это совсем не то пространственное запаздывание, о котором идет речь. На самом деле катушка, как набор идеальных сосредоточенных RLC элементов, и катушка, как цепь с распределенными параметрами — это две разные математические модели одной и той же реальной катушки. Первая модель не учитывает ограниченную скорость передачи взаимодействий, основана на предположении, что плотность тока во всех витках всегда одинакова, что не имеет место при собственном резонансе спирали. Поэтому эта модель ограничена и применима только на низких частотах. Вторая модель — более полная, учитывает то, что не учла первая и применима на любой частоте. В этом нет ничего необычного. Любая цепь, физические размеры которой сравнимы с длиной волны, не может рассматриваться как цепь из сосредоточенных элементов, в которой не учитывается ограниченная скорость передачи электромагнитных взаимодействий. Именно по этой причине О.Хевисайд и предложил в 1885 г. свою теорию длинных линий, а заодно кстати и само абстрактное математическое понятие "индуктивность". Как положительную реактивность.
Особо хотелось бы отметить следующий момент. На низких частотах, где, как мы выяснили, RLC модель справедлива, можно считать, что как индуктивность так и собственная емкость катушки не зависят от частоты, а определяются только геометрией намотки. Это общеизвестный факт, который зафиксирован например в формуле Нагаока. Однако реально параметры спиральной длинной линии зависят от частоты. Не только vax, но и погонная емкость и погонная индуктивность и, как следствие - величины собственной индуктивности и собственной емкости катушки в целом. Только на низких частотах эта зависимость пренебрежимо мала, а вот уже на частотах близких к первому резонансу значения индуктивности и собственной емкости катушки начинают заметно "плыть" по частоте. В итоге, мы сталкиваемся с ситуацией, что эти значения, измеренные или рассчитанные на низкой частоте, не пригодны для расчета частоты собственного резонанса катушки как LC резонанса по формуле Томсона. Расчет даст неверный результат! Неверный, Карл! Таким образом, мы приходим к выводу, что расчеты, основанные на понятии о LC-резонансе в катушке, полностью теряют смысл, что еще раз доказывает несостоятельность RLC-модели катушки не только для объяснения физических явлений при собственном резонансе, но и для расчетов в этой частотной области. Поэтому приходится прибегать к более сложному численному методу из работы [5], включающему в себя функции Бесселя и прочий суровый матан, что и делает Coil64.
Как видно из HFSS-моделей, у катушки как первый резонанс так и все последующие связаны исключительно с волновыми явлениями в катушке. Возможны практические случаи, когда катушка работает в диапазоне частот, в который попадает не только ее первый резонанс, но и более высокие. Очень хорошо такой случай описан в статье И.Гончаренко об анодном дросселе коротковолнового передатчика [2]. На этом примере хорошо видно, что для правильного понимания механизма резонансных явлений в катушке необходимо пользоваться теорией длинных линий.
Кроме фазовой скорости волны в катушке на частоту собственного резонанса оказывает влияние так называемый торцевой эффект, подобный хорошо известному аналогичному понятию из теории антенн, от которого зависит коэффициент укорочения вибратора. Этот эффект проявляется от того, что ЭМ-поле вокруг катушки занимает пространство большее, чем сама катушка. Наличие торцевого эффекта понижает резонансную частоту и этот эффект более выражен у коротких катушек с большим диаметром, что еще раз подтверждает родственную связь резонансных явлений в катушке и в вибраторе. Учитывая фазовую скорость вдоль оси катушки и явление торцевого эффекта мы можем оценочно определить частоту собственного резонанса катушки по следующей весьма приближенной формуле от G3RBJ:
 |
[3] |
где:
- fsrf - частота собственного резонанса [МГц]
- ĺw - длина провода катушки с учетом торцевого эффекта [м]
- lw - реальная длина провода катушки [м]
- D, p, l - диаметр, шаг и длина намотки, соответственно [м]
- 0,25 - коэффициент, определяющий четвертьволновый резонанс (для полуволнового - 0,5)
Если конструктору необходимо создать катушку, имеющую минимальные габариты и максимальную частоту собственного резонанса при заданной индуктивности, то наиболее оптимальна будет намотка с расстоянием между витками, равном диаметру провода, при отношении l/D ≈ 1..1,5. Хотелось бы обратить внимание конструкторов, что здесь идет речь о вычислении собственной резонансной частоты "голой катушки в вакууме", т.е. одной проволочной спирали без учета влияния каркаса, сердечника, экрана, изоляции провода и т.п. Все эти, трудно поддаваемые учету факторы, приводят к уменьшению этой частоты. Причем влияние оказывает все — любой проводник, печатная плата, корпус конструкции. В наших HFSS-моделях влияющие факторы — это выводы спирали и, особенно, сплошная земля в 1-ой и 3-ей моделях. Даже если вы соберетесь измерить частоту собственного резонанса экспериментально, это будет непростой задачей, так как щупы измерительного оборудования также оказывают влияние, даже если катушка где то висит в воздухе!
Необходимо отметить, что строгого аналитического решения уравнений Максвелла для цилиндрической проволочной спирали не существует, поэтому в теории спиральный волновод представляют в виде эквивалентной модели из тонкостенного сплошного цилиндра с анизотропной проводимостью. Однако численные методы решения уравнений Максвелла (чем в принципе и занимается HFSS) приводят нас к вполне однозначным результатам. В итоге, следует иметь ввиду, что вышеприведенная простая аналитическая формула [3] является весьма приблизительной и не может быть применима к любой катушке с произвольной геометрией намотки. Поэтому в Coil64 расчет частоты собственного резонанса основан не на аналитическом, а на численном методе из работы [5], который проверен практическими измерениями. При этом не учитывается влияние экрана, каркаса и других факторов. Расчет имеет точность около 10% при 0,04 < l/D < 40. Для некоторых катушек, например для очень длинных соленоидов с большим числом витков, этот метод может давать неверный результат. На практике же следует придерживаться следующего простого условия: если длина провода, которым намотана катушка, меньше четверти длины волны на наивысшей рабочей частоте, то катушка будет работать ниже своего первого резонанса.
Как мы отметили выше, резонанс в катушке по своим свойствам подобен резонансу антенного вибратора. В этой связи, в зависимости от схемы подключения катушки относительно референсной земли возможен либо полуволновой резонанс как у диполя, либо четвертьволновый резонанс как у монополя. В наших первой и третьей HFSS-моделях наблюдается четвертьволновой резонанс, а во второй — полуволновой. Программа Coil64 рассчитывает частоту полуволнового собственного резонанса однослойной катушки. А вот например по формуле [3] определяется четвертьволновой резонанс, частота которого примерно вдвое ниже. Многие радиолюбители используют векторные анализаторы для определения частоты собственного резонанса катушки, подключая ее к первому порту анализатора (P1). В этом случае определяется частота четвертьволнового резонанса. Для определения частоты полуволнового резонанса следует катушку включать между двумя портами (P1, P2) и находить эту частоту по минимуму передаточной характеристики S21. Смотрите пример по ссылке [9] в конце статьи.
P.S: В заключении хотелось бы добавить несколько слов о концепции "Двух независимых резонансов в катушке - волновом и LC-резонансе". Эта концепция зиждется на четырех ложных в своей основе предпосылках и поэтому в корне неверна:
- Во первых, автор моделирует катушку как двухпроводную несимметричную длинную линию. Чтобы приблизить модель к реальности предполагается, что «земля» как можно дальше удалена от «горячего» провода линии DL. На самом деле катушка это однопроводная линия и по своему поведению больше похожа на антенный вибратор, чем на классическую длинную линию. Это в корне меняет подход к моделированию такого объекта. Как известно, телеграфные уравнения являются аналитическим решением уравнений Максвелла для двухпроводной длинной линии. Но как мы отметили выше, для однопроводной спиральной линии такого решения не существует. Однако программа HFSS может решать дифференциальные уравнения Максвелла «в лоб» численными методами с помощью итераций. Поэтому она и была выбрана в качестве исследовательского инструмента в этой статье.
С другой стороны, если рассуждения автора распространить на любую подходящую двухпроводную длинную линию, то два независимых резонанса возможны не только в спиральной катушке. Почему тогда только катушка удостоилась такой чести? Да просто потому, что Тесла… - Во вторых, «внешний» относительно катушки конденсатор С1 в авторской модели — это собственная емкость катушки. Поскольку в модели она является сосредоточенным элементом, то предполагается, что это статическая емкость. Между чем и чем? Где обкладки этой емкости? Судя по схеме, между концами катушки. В двухпроводной линии, при распространении волны моды ТЕМ, мы всегда можем определить такую статическую емкость и даже указать что является ее обкладками. Например в коаксиальном кабеле. Однако отметим, что при этом она всегда является суммарной погонной емкостью такой линии. В случае однопроводной линии определить подобным образом некую статическую емкость невозможно. Как мы отметили в статье о собственной емкости однослойной катушки, предполагается, что это суммарная емкость между соседними витками. Но и этот подход неверен. Почему тогда между витками, а не частями витков? В любом случае нам так или иначе придется прийти к модели с распределенными параметрами в которой эта емкость будет «размазана» по всей длине катушки. В таком случае такая «размазанная» собственная емкость приведенная к концам катушки — это, по сути, та же самая суммарная (интегральная) погонная емкость длинной линии. Тогда введение в модель внешней С1 теряет всякий смысл. Здесь уж как говорится «или/или».
Автор утверждает, что изменение C1 никак не сказывается на «волновом процессе». По всей видимости — это главный аргумент наличия второго резонанса. С равным успехом можно утверждать, что подключение параллельно колебательному контуру второго колебательного контура приведет к тому, что в схеме появятся два резонанса. На самом деле добавление емкости С1 просто сдвинет резонансную частоту системы вниз, а на «старой» частоте у системы уже будет емкостный входной импеданс. А при резонансе, как известно, реактивность должна быть равна нулю. «Волновой процесс» — это не какое то особое свойство длинной линии как цепи с распределенными параметрами. Ведь эти параметры — это те же RLC элементы. Просто рассчитать такую цепь непосредственно с помощью законов Ома и Кирхгофа мы не можем по причине бесконечного числа таких элементов. Поэтому приходится пускать в дело интегральное и дифференциальное исчисление. Но сами законы по прежнему работают. И согласно ним мы параллельно нашей «размазанной» собственной емкости катушки подключили дополнительную емкость. Вот и все.- Погонная емкость и погонная индуктивность обычной «прямой» длинной линии с малыми потерями зависят только от ее геометрических размеров. В спиральной линии, как мы отметили выше, они зависят также от частоты. Это вторая причина по которой расчет частоты собственного резонанса на основе сосредоточенной собственной емкости по формуле Томсона не имеет смысла. Необходимо использовать только модель с распределенными параметрами. Формула [3], как мы отметили выше, также весьма приближенна.
По всей видимости автор, получив разные результаты по формуле Томсона и по формуле [3], вместо того чтобы усомниться в корректности расчетов, пришел к выводу, что существуют два разных резонанса. На самом деле никаких «двух независимых резонансов» в реальности не существует, что подтверждают и расчеты в HFSS и точные измерения. Повторюсь еще раз - все дело в разных моделях одной реальной катушки и разных уровнях математических абстракций в зависимости от конкретных условий расчета. Одно из двух. Либо мы моделируем реальную катушку как схему из сосредоточенных элементов, либо как схему с распределенными параметрами. И та и другая — это по сути две RLC модели разной степени сложности. Смешивать все это в одну кучу и подгонять под выдуманную теорию нельзя.
Ссылки по теме:
- Техническая электродинамика, Семенов Н.А., Изд. "Связь" Москва, 1973, стр.318-323.
- Моделирование анодного дросселя как распределенной структуры - И.Гончаренко (DL2KQ) 2007-2012
- Паразитные резонансы в катушке П-контура - И.Гончаренко (DL2KQ)
- Высокочастотные катушки, спиральные резонаторы и увеличение напряжения из-за когерентных пространственных мод 2001г. (Оригинал статьи здесь)
- THE SELF-RESONANCE AND SELF-CAPACITANCE OF SOLENOID COILS - applicable theory, models and calculation methods. By David W Knight (G3YNH)
- The self-resonance and self-capacitance of solenoid coils by David W Knight - основная статья с массой полезных ссылок по теме, в том числе на экспериментальные исследования с наглядными фото (G3YNH)
- SELF-RESONANCE IN COILS and the self-capacitance myth. By Alane Payne (G3RBJ)
- О собственной емкости катушки.
- Измерение частоты собственного резонанса катушки индуктивности - А. Алексеев (R2AUK)
- Как создать модель и рассчитать параметры однослойной катушки индуктивности в электромагнитном симуляторе ANSYS HFSS;
в итоге в космосе провод ни на что не повлияет.
да.. задумываясь о сложных вещах, нужно четко понимать и помнить о простых
Учите основы ребята:
www.youtube.com/watch?v=Y0-fb4LIbwg
? (другой конец катушки висит в воздухе)