О расчете добротности однослойной катушки индуктивности

Расчет добротности катушки индуктивности достаточно сложен. Ведь добротность зависит от многих факторов – потерь в проводах, сердечнике, экране, точный учет которых весьма затруднен. Однако мы можем упростить задачу, если будем учитывать только потери в проводах. Во-первых они вносят основной вклад в общую сумму потерь, во-вторых оценка добротности катушки нас интересует чаще при создании высокодобротных контуров. При этом применяются специальные меры по минимизации потерь – ребристые каркасы (либо бескаркасные - с "воздушным" каркасом), отсутствие сердечника.

Напоминаю, что добротность - это отношение реактивного сопротивления катушки (2πƒL) к ее сопротивлению потерь. Определить реактивное сопротивление катушки не сложно. А вот подсчет потерь в проводе катушки не так прост и его рассмотрим подробнее...

На просторах Рунета удалось найти только одно решение задачи расчета потерь в проводе катушки индуктивности на радиочастотах, которое дает приемлемые результаты. Этот метод изложен в книге "Радиодетали, радиокомпоненты и их расчет А.В. Коваль 1977г". Метод графоаналитический, при этом одновременно расчет ведется с применением формул, номограмм и таблиц. Автор метода нигде не указан, поэтому назовем его - "Метод советской школы". Очевидно, что такой расчет крайне сложно реализовать в виде программного алгоритма.

Дальнейшие поиски привели на сайт G3YNH – David Knight. Он провел очень глубокие теоретические исследования, посвященные расчету импеданса на высоких частотах, расчету катушек индуктивности, выбору формул аппроксимации экспериментальных измерений. Их можно найти в главе – "From Transmitter to Antenna". Статья посвященная расчету катушек здесь. Эти исследования легли в основу метода расчета добротности в Coil64 и мне хотелось бы познакомить с ним радиолюбителей. В части теории расчет во многом совпадает с "методом советской школы", однако не во всем.

Одним из первых, кто попытался учесть потери в катушках на радиочастотах был S.Butterworth, в работе: "Effective Resistance of inductance Coils at Radio Frequencies, 1926". Он больше знаменит как разработчик всем известных "фильтров Баттерворта". Именно его работы лежат в основе "метода советской школы". Итак...

Потери в проводе на высоких частотах складываются из трех факторов:

1. Прежде всего зависимость от материала провода. Очевидно, что провод из металла с более высоким удельным сопротивлением будет обладать бо́льшими потерями. Как известно сопротивление провода постоянному току можно рассчитать как:
   

   RDC = ρl/A. где A = πr2

   [1]

   • R_DC – сопротивление постоянному току [Ом]
   • ρ – удельное сопротивление металла [Ом·м] (для серебра например = 1,59·10^-8 Ом·м)
   • l – длина провода [м]
   • A – поперечное сечение провода [м²]
   • r – радиус провода [м]
   Можно утверждать, что это "базовые потери в проводе" и потери на высоких частотах не могут быть меньше потерь на постоянном токе.
2. Наличие феномена скин-эффекта. Скин-эффект (другое название - "поверхностный эффект") заключается в том, что токи протекающие на поверхности провода как бы экранируют внутренние слои в результате чего практически весь ток сосредоточен в тонком поверхностном слое, толщина которого определяется следующим выражением:

   δi = √[ ρ / ( π f μ )]

   [2]

   • δi – глубина проникновения [м], глубина на которой плотность тока уменьшается в e раз (e=2.71 - число Эйлера)
   • ρ – удельное сопротивление металла [Ом·м]
   • f – частота [Гц]
   • μ = μ₀μ_r    μ₀ = 4π·10^-7 – абсолютная магнитная проницаемость, μ_r – относительная магнитная проницаемость металла (близка к единице у пара- и диамагнетиков)
   Очевидно, что сопротивление переменному току растет с ростом частоты, т.к. глубина проникновения при этом уменьшается. Для логического удобства расчетов введем понятие коэффициента скин-эффекта – Ξ. Это будет число показывающее во сколько раз сопротивление переменному току на данной частоте выше сопротивления постоянному току.
   

   ESR = RDC · Ξ

   [3]

   • ESR – эквивалентное последовательное сопротивление, учитывающее потери на переменном токе [Ом]
3. Классический расчет (включая "метод советской школы"), вычисляет площадь кольца ограниченного поверхностью провода и глубиной проникновения   A_eff = π (2rδi - δi²) и подставляет его в формулу [1], вычисляя сопротивление переменному току. Коэффициент скин-эффекта тогда получится следующим:
   

   Ξ = r²/( 2rδi - δi²)

   [4]

   Физически эту формулу можно представить как отношение проводимости на постоянном токе (пропорциональна r²) к проводимости на переменном токе (пропорциональна r и δi)

4. Наличие феномена эффекта близости. Эффект заключается в том, что под воздействием магнитного поля от соседних витков в проводе катушки возникают вихревые токи. Суперпозиция этих токов с токами от скин-эффекта приводит к тому, что плотность тока в части проводника, примыкающей к каркасу выше и сечение по которому протекает ток уже не похоже на кольцо, а напоминает серп. Очевидно, что сопротивление переменному току под воздействием эффекта близости дополнительно возрастает. Эффект уменьшается при уменьшении "близости", т.е. при увеличении шага между витками. Надо иметь ввиду, что как эффект близости так и скин-эффект, являются двумя аспектами одного и того же явления - взаимодействия ВЧ тока с магнитным полем. В связи с крайней сложностью описания электромагнитного поля, связанного с ВЧ катушками индуктивности, не существует простых теоретически обоснованных аппроксимирующих формул для расчета эффекта близости в произвольно построенной катушке на радиочастотах. Можно применять моделирование в электромагнитных симуляторах, использующих метод конечных элементов - COMSOL Multiphysics, FEMM, ANSYS-HFSS, EM.Cube и т.п. Для упрощения расчетов применяются псевдоаналитические методы расчета с применением таблиц, составленных на основе экспериментальных измерений. Мы тоже пойдем по этому пути.

   По аналогии с коэффициентом скин эффекта введем понятие коэффициента эффекта близости – Ψ, тогда:

   ESR = RDC · Ξ · Ψ

   [5]

   Эффект близости у прямого провода отсутствует и в этом случае Ψ = 1. Таким образом, физически коэффициент эффекта близости Ψ можно представить как отношение сопротивления провода свернутого в спираль к сопротивлению прямолинейного провода такой же длины при переменном токе.
   

   В 1947 году радиоинженер R.G.Medhurst - сотрудник исследовательской лаборатории компании "General Electric Co.Ltd." опубликовал ряд работ, связанных с экспериментальными исследованиями катушек индуктивности, в том числе и по эффекту близости. Результаты этих исследований актуальны по сей день. Главный вывод из измерений параметров реальных катушек к которому пришел Medhurst - это то, что метод Баттерворта не работает для коротких катушек. По термином "короткие" подразумеваются катушки с отношением l/D<7 и расстоянием между витками меньше двух диаметров провода. (т.е. как раз тех, которые чаще всего и применяются на практике).
   Нас интересуют экспериментальные данные по Ψ. Medhurst приводит их в виде таблицы в зависимости от отношения длины катушки к ее диаметру (l/D) и шага намотки к диаметру провода (p/d). Желтым цветом отмечено совпадение эксперимента с теорией Баттерворта при ошибке не более 3%:

   p/d → l/D ↓	1	1.111	1.25	1.429	1.667	2	2.5	3.333	5	10
   0	5.31	3.73	2.74	2.12	1.74	1.44	1.20	1.16	1.07	1.02
   0.2	5.45	3.84	2.83	2.20	1.77	1.48	1.29	1.19	1.08	1.02
   0.4	5.65	3.99	2.97	2.28	1.83	1.54	1.33	1.21	1.08	1.03
   0.6	5.80	4.11	3.10	2.38	1.89	1.60	1.38	1.22	1.10	1.03
   0.8	5.80	4.17	3.20	2.44	1.92	1.64	1.42	1.23	1.10	1.03
   1	5.55	4.10	3.17	2.47	1.94	1.67	1.45	1.24	1.10	1.03
   2	4.10	3.36	2.74	2.32	1.98	1.74	1.50	1.28	1.13	1.04
   4	3.54	3.05	2.60	2.27	2.01	1.78	1.54	1.32	1.15	1.04
   6	3.31	2.92	2.60	2.29	2.03	1.80	1.56	1.34	1.16	1.04
   8	3.20	2.90	2.62	2.34	2.08	1.81	1.57	1.34	1.165	1.04
   10	3.23	2.93	2.65	2.27	2.10	1.83	1.58	1.35	1.17	1.04
   ∞	3.41	3.11	2.815	2.51	2.22	1.93	1.65	1.395	1.19	1.05

   Эту таблицу можно представить программно в виде массива данных, а промежуточные данные получать методом линейной интерполяции. Так и было сделано в онлайн калькуляторе ON4AA - http://hamwaves.com/antennas/inductance.html . Пожалуй это единственный калькулятор, считающий добротность корректно. В Coil64 применена методика из работы: "The resistance of round-wire single-layer inductance coils by A.H.M.Arnold, D.Eng., Associate Member 1951". Метод основан на формулах Баттерворта и таблицах корректирующих коэффициентов для коротких катушек и считает коэффициент эффекта близости с точностью до ±10%. При этом учитывается рабочая частота, число витков катушки и материал провода, что не делается при расчете непосредственно по таблице Medhurst'а. В Программе имеется возможность выбрать материал провода.  Погрешность расчета по такому методу определяется погрешностью линейной интерполяции экспериментальных данных по Ψ и не превышает 10-15%. Подразумевается, что катушка работает на частоте не менее чем на порядок ниже частоты собственного резонанса. Потери в каркасе и экране не учитываются. Как показывают исследования, уже на частотах выше 20% от частоты собственного резонанса потери в катушке значительно возрастают и ее добротность значительно падает.

Относительно практических конструкций катушек можно предположить, что здесь расхождение расчетов с практикой будет определяться "неплотностью" намотки катушки виток к витку и толщиной изоляции провода. Отклонение расчетов от измерений в таком случае может достигать 20-30%.

"Советская школа" утверждает, что при увеличении диаметра провода идет увеличение потерь, связанных с эффектом близости. Это яркий пример того, когда неверно сформулированная или поданная мысль порождает мифы, приводящие к ложным выводам. Действительно, при фиксированных длине и диаметре намотки, фиксированном числе витков и при намотке с шагом, если мы начинаем увеличивать диаметр провода - промежуток между соседними витками уменьшается, что ведет к усилению эффекта близости. Однако причинно-следственная связь здесь однозначна: витки сближаются - эффект близости усиливается. Увеличение диаметра провода здесь играет второстепенную роль и его нельзя рассматривать не учитывая шаг намотки. Точно также нельзя принимать во внимание диаметр катушки, не учитывая ее длину. Все относительно в этом мире, и на самом деле зависимость между оптимальным диаметром провода и диаметром катушки имеет более сложный характер. Корректнее утверждать, что существует оптимальное отношение шага намотки к диаметру провода в зависимости от форм-фактора катушки. Medhurst приводит эту зависимость в виде графика. По оси Y - оптимальное отношение диаметра провода к шагу намотки (optimum spacing ratio); По оси X - отношения длины намотки к ее диаметру.

Следует отметить, что на графике Медхерст анализирует только влияние эффекта близости на сопротивление потерь катушки. Но как мы помним добротность - это отношение реактивного сопротивления катушки к сопротивлению потерь. Реактивное сопротивление прямо пропорционально индуктивности. Таким образом, максимальная добротность катушки должна быть при максимальной индуктивности и при минимальных потерях. Какая же геометрия намотки удовлетворяет этим условиям? Ответ на этот вопрос зависит от многих факторов, в частности на предназначение катушки. Катушка в антенной системе с высоким импедансом и контурная катушка с относительно низким импедансом - это две большие разницы. Подробнее по ссылке [7] внизу.

Оптимальная по добротности контурная катушка имеет отношение l/D ≈ 1...1,5 и для такой катушки оптимальное отношение шага намотки к диаметру p/d ≈ 2. Более того, катушка с таким же форм-фактором имеет минимальную собственную паразитную емкость. Такие оптимальные катушки - геометрически подобны, т.е масштабируемы по частоте собственного резонанса, примерно также как принято в антенной технике, не только по размерам каркаса, но и по форме намотки и диаметру провода. Другими словами, если мы на частоте 28 МГц имеем некую оптимальную катушку диаметром 10 мм, то подобная ей катушка на 14 МГц будет иметь диаметр 20 мм. Все остальные размеры катушки, включая диаметр провода, также пропорционально увеличатся, число витков останется прежним. Катушка как бы "раздуется" в объеме. При этом добротность ее останется почти прежней, индуктивность и собственная емкость возрастут в два раза, частота собственного резонанса уменьшится в два раза.

У катушки виток к витку эффект близости всегда максимален, ее добротность в большей мере зависит от других факторов и имеет максимум при l/D ≈ 0,5...0,8. Но закон подобия геометрических размеров по частоте справедлив и в этом случае.

Ссылки:

1. Practical continuous functions for the internal impedance of solid cylindrical conductors - © D. W. Knight, 2010, 2012 G3YNH [PDF];
2. The HF Resistance of Single Layer Coils - Inductance and loss modelling articles by Alan Payne G3RBJ [PDF];
3. The AC Resistance of Rectangular Conductors - Alan Payne 2016 G3RBJ [PDF];
4. Skin Effect, Proximity Effect and the Resistance of Circular and Rectangular Conductors - Alan Payne 2017 G3RBJ [PDF];
5. Proximity Loss in Rectangular Conductors with Opposing Currents - Alan Payne 2017 G3RBJ [PDF];
6. Alternating-current resistance and inductance of single-layer coils - by Hickman, C.N. 1922;
7. How to choose the optimal inductor form factor to get high Q (at low and high characteristic impedance) -W8JI;
8. Coil Length-to-Diameter Ratios For Maximum Q - N6LF [PDF];
9. О некоторых закономерностях пересчета параметров катушек индуктивности. - Н. Башаримов, (EU7LT)
10. Добротность катушек на ферритовых кольцах - Coil32