Расчет катушки индуктивности на ферритовом кольце

Индуктивность тороидальной катушки с прямоугольным поперечным сечением мы можем определить шаг за шагом на основании фундаментальных законов электромагнетизма. В соответствии с теоремой Ампера о циркуляции магнитного поля (в иностранной литературе «Ampere's Law») мы можем вычислить величину магнитной индукции в сердечнике на произвольном расстоянии r от его центральной оси.

[1]

Магнитный поток через площадь поперечного сечения сердечника можно вычислить следующим образом. Мы разбиваем эту площадь на бесконечно тонкие сегменты высотой h с расстоянием r от оси и суммируем эти сегменты путем интегрирования по радиусу:

[2]

Далее, в соответствии с определением индуктивности, приходим к следующему выражению:

[3]

Обозначения в формулах соответствуют следующей схеме катушки на тороидальном ферритовом сердечнике:

Во всех вышеприведенных формулах используются единицы СИ.

• N - число витков катушки;
• μ₀ - магнитная постоянная 4π·10^-7 [T·m / A];
• μ_r - актуальная магнитная проницаемость сердечника;
• I - величина тока через катушку [А];
• r - радиус [м];
• r_o - наружный радиус сердечника [м];
• r_i - внутренний радиус сердечника [м];
• h - высота сердечника [м];
• L - индуктивность [Г];
• B - магнитная индукция [T];
• Ф_B - магнитный поток [Вб];

В упрощенной форме, при размерах сердечника в миллиметрах и индуктивности в микрогенри, уравнение выглядит следующим образом:

[4]

Где:

• L - индуктивность катушки [мкГн];
• h - высота кольца [мм];
• OD - наружный диаметр кольца [мм];
• ID - внутренний диаметр кольца [мм];
• μ_r - актуальная магнитная проницаемость сердечника;

Метод расчета катушек с магнитным сердечником, который является стандартным, рекомендован к использованию Международной Ассоциацией Производителей Магнитных Материалов в публикации: IEC Publication 205, “Calculation of Effective Parameters of Magnetic Piece Parts”. В этом методе оригинальный сердечник заменяется на идеальный тороидальный сердечник, который имеет такие же электрические параметры и содержит столько же витков как и оригинальный. Параметры магнитной цепи такого замещающего тороидального сердечника называются эффективными. Этот факт отображается добавкой суффикса “e” к соответствующему символу.

• Эффективная длина магнитной цепи l_e мм
• Эффективное поперечное сечение магнитной цепи A_e мм²
• Эффективный объем сердечника V_e mm3

Эффективные параметры кольцевого сердечника с прямоугольным поперечным сечением определяются следующим образом:

[5]

В этих формулах размерности r_o, r_i, h_e - в миллиметрах, С1 - мм^-1, С2 - мм^-3

Фаска учитывается с помощью следующего выражения:

[6]

В этом выражении актуальная высота сердечника h заменяется своим эффективным значением h_e, который учитывает наличие фаски, уменьшающей общую площадь поперечного сечения сердечника. При отсутствии фаски (C = 0) эффективная и актуальная высота сердечника совпадают h_e = h,

Из эффективных параметров сердечника (не забываем про размерности в мм) индуктивность можно получить следующим образом

[7]

Параметр A_L, или коэффициент индуктивности сердечника можно определить следующим образом:

[8]

Как видно из сравнения расчета индуктивности, которую мы вывели из фундаментальных законов электромагнетизма с формулой на основе эффективных параметров, реальный кольцевой сердечник совпадает с идеальным в случае прямоугольного поперечного сечения без фаски. Поскольку практически весь магнитный поток сосредоточен внутри сердечника и магнитная цепь не имеет разрывов, в качестве μ_r мы можем использовать начальную магнитную проницаемость феррита μ_i при соблюдении ряда условий:

• Феррит должен работать в слабых полях при величине магнитной индукции намного меньшей индукции насыщения, на начальном участке кривой намагничивания, подробнее об этом здесь;
• Феррит должен работать на относительно низкой частоте, на которой можно пренебречь частотной зависимостью магнитной проницаемости, подробнее здесь;
• Рабочая температура феррита не должна иметь влияние на величину магнитной проницаемости и потерь;
• Феррит должен работать при условии отсутствия в нем явления объемного резонанса;

Для расчета магнитных цепей могут быть полезны формулы эквивалентной длины и эквивалентного поперечного сечения.

[9]

[10]

Для кольцевого магнитопровода эквивалентное поперечное сечение не совпадает с физическим и эквивалентная длина не равна средней окружности кольца, как могло бы показаться на первый взгляд. Дело в том, что понятия эквивалентной длины и эквивалентного поперечного сечения введены для "идеального" кольцевого магнитопровода в котором магнитный поток в пределах поперечного сечения распределен равномерно. В реальном сердечнике, как мы видим, это не так.

Ссылки по теме:

• Расчет катушек с ферромагнитными сердечниками (общие вопросы);
• Онлайн калькулятор катушки на ферритовом кольце;