Расчет индуктивности однослойной катушки виток к витку

Однослойная катушка индуктивности представляет собой провод, свернутый в спираль. Для придания жесткости, провод обычно наматывают на цилиндрический каркас. Поэтому в Coil64 в качестве исходных параметров приняты размеры каркаса и диаметр провода, т.к. их легче измерить практически. В расчетных формулах, однако, используются геометрические параметры самой спирали. Во избежании путаницы на этой страничке справки можно подробнее ознакомиться с этими тонкостями.

Однослойные катушки получили широкое распространение, особенно для конструкций коротковолнового и средневолнового любительских и радиовещательных диапазонов. Основные свойства однослойных катушек — высокая добротность, относительно небольшая собственная емкость, удобство изготовления. Рассмотрим методы расчета такой катушки без промежутка между витками - "виток к витку"...

Начнем с того, что в конце XIX века Х.А.Лоренц вывел формулу с применением эллиптических интегралов для расчета соленоида. Отличием модели Лоренца от модели МаксвеллаМаксвелла являлся тот момент, что витки соленоида представлялись не бесконечно тонким круговым проводом, а бесконечно тонкой спиральной проводящей лентой с шириной равной реальной толщине провода, без промежутка между витками. Формула имеет высокую точность при расчете реальной катушки в случае если последняя имеет большое количества витков и имеет намотку виток к витку. В 1909 г. японский физик Х.Нагаока преобразовал формулу Лоренца и привел ее к виду из которого следовал важный вывод - индуктивность соленоида зависит исключительно от формы и размеров катушки. Формула Нагаока имеет следующий вид:

[1]

, где

• L_s - индуктивность катушки
• N - число витков катушки
• r - радиус намотки
• l - длина намотки
• k_L - коэффициент Нагаока

Важнейшим выводом из анализа этой формулы был тот, что коэффициент Нагаока зависел только от отношения l/D, который был назван форм-фактором катушки. Коэффициент Нагаока вычислялся с применением эллиптических интегралов. Подробнее на этой формуле останавливаться не будем, т.к. Coil64 ее не использует в расчетах. Стоит только отметить, что в случае длинного соленоида формула упрощается до следующего вида

[2]

где S - площадь поперечного сечения катушки. Эта формула имеет только академический интерес и не пригодна для расчетов реальных катушек, т.к. справедлива только для бесконечно длинных соленоидов, которых в природе не существует.

Однослойную катушку можно рассчитать численным методом, используя формулу Максвелла или формулу Нагаока для соленоида. Однако современные эмпирические формулы дают очень высокую точность расчетов и вполне достаточны для практических целей.

Обзор и выбор эмпирических формул начнем с самой известной формулы Г.Вилера. Обычно именно эта формула чаще всего используется в различных программах, онлайн калькуляторах, справочниках и статьях, посвященных расчетам индуктивностей.

В оригинале эта формула выглядит так:

где N - число витков, а a и b - соответственно радиус и длина намотки катушки. Размерности в дюймах. Адаптировав эту формулу для метрической системы (вернее сказать для СГС) и поменяв радиус на диаметр, получаем следующее:

[4]

, где:

• L - индуктивность катушки [мкГн];
• N - число витков катушки;
• D - диаметр намотки [см];
• l - длина намотки [см];

Это самый известный у нас вариант этой формулы. Раньше на сайте С.-Петербуржского университета телекоммуникаций - sut.ru был довольно информативный ресурс - dvo.sut.ru, на котором можно было найти много информации о катушках индуктивности, включая и эту формулу. Теперь это ресурс к сожалению удален. Но удалось обнаружить клон этого ресурса на qrz.ru, на который перекочевала даже старая ошибка (0,5ё1.0) в формуле 2.37. Там можно найти и формулу Нагаока (формула 2.28) и выражение коэффициента Нагаока через формулу Вилера (формула 2.29).

Формула была предложена Вилером в далеком 1928 году, когда еще о компьютерах только мечтали и была очень полезна в то время, т.к. позволяла "в столбик" на бумажке рассчитать практическую катушку. Формула "укоренилась" в массовом сознании радиолюбителей. Однако мало кто знает, что она, как любая эмпирическая формула, имеет ограничения. Эта формула дает погрешность до 1% при l/D > 0,4, т.е если катушка не слишком короткая. Для коротких катушек эта формула не пригодна.

Последовало несколько попыток устранить этот недостаток. В 1985 г. Р.Лундин опубликовал две свои эмпирические формулы, одна - для "длинных", другая - для "коротких" катушек, позволяющие рассчитать коэффициент Нагаока с точностью не менее чем 3ppM (±0.0003%), что несомненно выше точности изготовления или измерения индуктивности катушки. Вот калькулятор, основанный на этих формулах.
В 1982 г., спустя 54 года, с наступлением эры компьютеров, Вилер опубликовал свою "длинную" формулу, которая рассчитывала однослойную катушку с погрешностью не более ±0.1%, как длинную, так и короткую. В дальнейшем эта формула была усовершенствована Р.Розенбаумом, а в последствии Р.Вивером (Robert Weaver - анализ и вывод формулы у него на сайте).

[5]

где:

• D_k - диаметр намотки
• N - число витков
• k = l/D_k - форм-фактор катушки, отношение длины намотки к ее диаметру

В результате мы имеем формулу, позволяющую рассчитать однослойную катушку с точностью не менее 18.5 ppM (в сравнении с формулой Нагаока), что хуже, чем по формулам Лундина, но, во-первых, вполне достаточно для практических расчетов, во-вторых, мы имеем одну более простую формулу вместо двух, рассчитывающую однослойную катушку независимо от ее форм-фактора. Формула [5] используется в онлайн калькуляторе однослойной катушки индуктивности и в ранних версиях приложения Coil32. Кросс-платформенное приложение Coil64 и андроид приложение Coil32 используют более сложную методику расчета однослойной катушки, учитывающую спиральную форму витков и произвольный шаг намотки. Отметим, что реальная катушка всегда имеет спиральную форму витков и ненулевой зазор между витками даже если она плотно намотана виток к витку. Зазор определяется толщиной изоляции провода.

В 1907 году Э.Розе, сравнивая расчеты по методу Максвелла и по методу Лоренца, вывел таблицу поправок, существенно увеличивающих точность расчета по методу Лоренца, особенно если катушка имеет небольшое число витков. Эти поправки стали именоваться "поправки на круглость провода" - Round Wire Corrections. В дальнейшем эти поправки использовались для увеличения точности расчета коэффициента Нагаока и эмпирических формул Лундина и Вивера. В 2008 г. Р.Вивер создал эмпирический алгоритм, позволяющий численным методом рассчитать "поправки на круглость провода" не прибегая к помощи таблиц. Этот алгоритм применяется в Coil64, в онлайн-калькуляторе, а также в Coil32 для Андроид, для увеличения точности расчета индуктивности однослойных катушек.

Кроме величины индуктивности, которая является первичным параметром однослойной катушки индуктивности, приложение Coil64 вычисляет также вторичные параметры:

   Паразитную или собственную емкость - Cs;
   Частоту собственного резонанса катушки - Fsr;
   Конструктивную добротность катушки - Q;
   Сопротивление потерь (эквивалентное последовательное сопролтивление) - ESR;

Этих данных вполне достаточно для создания реалистичной модели катушки в программах схемотехнического моделирования. Например, в популярных RFSim99 или LTSpice IV. В RFSim99 необходимо поставить галочку в чекбоксе "Вкл. физ. модель" и ввести частоту собственного резонанса и добротность. Тип добротности необходимо выбрать третий - Q(f)=Q(F). Для LTSpice данные выводятся в общее поле вывода, откуда их можно скопировать и вставить в соответствующие поля.

Кроме того можно рассчитать дополнительные результаты для параллельного колебательного контура на рабочей частоте. Характеристическое сопротивление такого контура равно реактивному сопротивлению катушки на рабочей частоте.

Ссылки по теме:

1. R.Weaver's single-layer coil winding empirical formula - анализ и вывод основных формул расчета 2012
2. Formulas and Tables for calculation of mutual and self-inductance - T.B.Rosa, F.W.Grover 1916
3. R.Weaver numerical method for Rosa's Round Wire Corrections